Calculo Vectorial

´
LECCION

6

Regla de la cadena

En general, en c´lculo se trabaja con funciones que se obtienen de componer, sumar
a
o multiplicar las funciones elementales. En el caso de funciones de una sola variable
se tiene un instrumento muy valioso para el c´lculo de la derivada de una funci´n
a
o
compuesta. Este instrumento es la Regla de la Cadena. En esta lecci´n generalizao
remos laregla de la cadena para el caso en que la funci´n que se quiere derivar es
o
la compuesta de una funci´n vectorial con una funci´n escalar.
o
o

Supongamos que f : D −→ R es diferenciable en todos los puntos de su dominio
(que supondremos abierto) y que la funci´n vectorial r : I −→ D, dada por r(t) =
o
x(t), y(t) , es derivable en I. La compuesta de estas dos funciones es una funci´n
o
z: I −→ R, dada por z(t) = f (r(t)) y estamos interesados en estudiar la derivada
de z con respecto a t. Si hacemos un cambio Δt en la variable t obtenemos cambios
Δx = x(t + Δt) − x(t) y Δy = y(t + Δt) − y(t), as´ usando el hecho de que f es
ı,
89

90

´
LECCION 6. REGLA DE LA CADENA

diferenciable, tenemos
Δz
Δt

=

z(t + Δt) − z(t)
Δt

=

f (x(t + Δt), y(t + Δt)) − f(x(t), y(t))
Δt

=

fx (x(t), y(t))Δx + fy (x(t), y(t))Δy + E
Δt

= fx (x(t), y(t))

Δx
Δy
E
+ fy (x(t), y(t))
+
,
Δt
Δt
Δt

donde E = Δf − df que es bien peque˜o ya que f es diferenciable. Como
n
E
= l´
ım ǫ1 , ǫ2 ·
Δt→0
Δt→0 Δt
l´
ım

Δx Δy
,
Δt Δt

= 0, 0 ·

dx dy
,
dt dt

= 0,

se obtiene

dx
dy
dz
= fx
+ fy ,
dt
dt
dt
que es la Regla de la Cadenaen esta situaci´n particular.
o
Si definimos el vector gradiente de f para cada (x, y) ∈ D como ∇f (x, y) =
fx (x, y), fy (x, y) , la regla de la cadena se puede expresar de la siguiente forma
dz
dt

=

fx , fy ·

dx dy
,
dt dt

= ∇f · r′
o, m´s expl´
a
ıcitamente,

dz
(t) = ∇f (r(t)) · r′ (t).
dt
Teniendo en cuenta la regla de la cadena, podemos reformular la derivadadireccional
de una funci´n diferenciable f en la direcci´n de un vector unitario v as´
o
o
ı:
df
(x, y) =
dv
=

d
dt

f (x + v1 t, y + v2 t)
t=0

∇f (x + v1 t, y + v2 t) · v1 , v2 |t=0

= ∇f (x, y) · v

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A partir de esta ultima, se deducen varias propiedades del vector gradiente. En
´
efecto,
df
(x, y) = ∇f (x, y) · v
dv
= ∇f (x, y) v cos θ
= ∇f (x, y) cos θ,
siendo θ el´ngulo entre ∇f (x, y) y v. De aqu´ que, la direcci´n en la que la derivada
a
ı
o
df
direccional
(x, y) es m´xima es aquella en la que v tiene la misma direcci´n y
a
o
dv
df
sentido de ∇f (x, y). En este caso,
(x, y) = ∇f (x, y) es la raz´n de m´ximo
o
a
dv
crecimiento de la funci´n en el punto (x, y) . De igual manera, en el sentido opuesto
o
al del gradiente se obtiene elm´ximo decrecimiento de la funci´n en el punto y
a
o
df
(x, y) = − ∇f (x, y) es la raz´n de m´ximo decrecimiento de la funci´n en el
o
a
o
dv
punto (x, y).
f
Por otro lado, si r = r(t) es una parametrizaci´n de la curva de nivel Nk , se tiene
o
que k = f (r(t)) y por consiguiente, 0 = ∇f (r(t)) · r′ (t), lo que quiere decir que
f
∇f (r(t)) es perpendicular a la curva de nivel Nk en elpunto (x(t), y(t)).

Ahora bien, todo lo que hemos hecho con funciones de dos variable hasta el momento,
se puede generalizar a funciones de tres y m´s variables. Por ejemplo, mediante un
a
razonamiento muy similar al ultimo aqu´ presentado, se puede concluir que para una
´
ı
funci´n diferenciable f : D ⊆ R3 −→ R, el gradiente ∇f (x0 , y0 , z0 ) es perpendicular
o
f
f
a la superficie denivel Nk en el punto (x0 , y0 , z0 ) ∈ Nk . Este ultimo resultado per´
f
f
mite determinar la ecuaci´n del plano tangente a Nk en el punto (x0 , y0 , z0 ) ∈ Nk ,
o
ıcitaya que un vector normal al plano tangente en ese punto es ∇f (x0 , y0 , z0 ). Expl´
mente, la ecuaci´n de dicho plano es
o
fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0....