calculo vectorial

CORDENADAS POLARES EN R2
Un sistema de coordenadas bidimensional también es conocido como sistema de coordenadas polares. En tales sistemas de coordenadas, cada uno de los puntos situados sobre un plano particular se determina con respecto a un ángulo de dirección fija y a una distancia fija del punto. El punto fijo se conoce como Polo y un rayo en una dirección particular que se origine delpolo se conoce como eje polar. La distancia fija se conoce como radio o coordenada radial y el ángulo de dirección fija se conoce como ángulo polar o coordenada angular.
En general, el radio está representado por ‘r’, lo cual convierte a la coordenada radial y al ángulo polar mediante t, o a veces mediante , lo cual convierte las coordenadas polares o las coordenadas angulares. Estos ángulos polaresse calculan en radianes o grados. Un valor positivo del ángulo polar sugiere que fue calculado en sentido contrario a la dirección del eje correspondiente.
Para obtener ecuaciones que nos den un conjunto de coordenadas polares de un punto, cuando conocemos sus coordenadas cartesianas rectangulares, hacemos la siguiente transformación x=r cos θ y y=r sen θ Si se tiene las ecuaciones encoordenadas polares se puede llevar a coordenadas cartesianas haciendo las siguientes transformaciones: Al elevar al cuadrado ambas ecuaciones y luego sumar tenemos quex2+y2=r2Luego r=x2+y2 Y dividiendo las ecuaciones tenemos que tan θ= y x Luego θ= tan-1(yx).

Se mide en el sentido contrario a las manecillas del reloj desde el primer cuadrante o eje x.











FORMULAS DETRANSFORMACIÓN
Coordenadas polares
Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:

Convertir
Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo:



De cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
Ejemplo: ¿qué es(12,5) en coordenadas polares?

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x )

Depolares a cartesianas
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:
Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?

Usamos la función coseno para x:
cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98

Usamos lafunción seno para y:
sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08

Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )

Ecuaciones polares
Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificartal ecuación definiendo como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función .
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar . Si (−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al ejevertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la...