Calculo Vectorial

DEFINICIONES
Si r es la posición del vector de una partícula moviéndose en una curva continua en el espacio, entonces:
1. La velocidad es la derivada dela posición: v=dr/dt
2. La rapidez es la magnitud de la velocidad: rapidez=|v|
3. La aceleración es la derivada de la velocidad: a= dv/dt = d2r/dt24. El vector unitario v/|v| es la dirección de movimiento en el tiempo t.

EJEMPLO 1:
Encuentra la velocidad, rapidez y aceleración de una partículacuyo movimiento en el espacio es dado por el vector de posición r(t)= 2cos t i + 2sin t j + 5cos2 t k. La velocidad del vector es v(7 /4).
SOLUCIONLos vectores de la velocidad y aceleración al tiempo t son:
V(t)= r’(t)= - 2 sin t i + 2 cos t j - 10 cos t sin t k
= - 2 sin t i +2 cos t j - 5 sin 2 t k,
A(t)= r’’(t)= - 2 cos t i - 2 sin t j – 10 cos 2 t k
Y la velocidad es;
|v(t)|= √(-2sin t)² + (2cos t)² + (-5 sin 2t)² = √4+ 25sin² 2t
Cuando t=7/4, tenemos:
V(7/4)= √2 i + √2 j + 5 k, a(7/4)= -√2 i + √2 j, |v(7/4)|= √29

EJEMPLO 2:
La posición de la partículaen el espacio en el tiempo t esta determinada por r(t)= (2cos t)I + (3sen t)j + 4t k. Encuentra la velocidad de la partícula y el vector de la aceleración,luego encuentra el rapidez de la partícula.
SOLUCION
V(t)= r’(t)= -2sen t i + 3 cos t j + 4 k
Y la velocidad es;
|v(t)|= √(-2sen t)² + (3cos t)² +(4)² = √ 4 + 16 = √20= 2√5
Aceleración;
A= (-2 cos t)I – (3 sen t)j



FUENTE:
Thomas’ Calculus Early Transcendentals, Weir, Hass, Pearson, 2010.