Calculo Vectorial

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NOTAS DE MATEMÁTICAS III
UNIDAD I
VECTORES
Un vector es una cantidad que expresa magnitud, dirección y sentido. Por ejemplo fuerza, desplazamiento y velocidad, etc.

Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos rectilíneos dirigidos, o flechas, en el espacio bidimensional (R2) y tridimensional (R3); la longitud de la flecha describe la magnitud, el ángulo deinclinación del vector nos indica la dirección del vector y el sentido nos indica si el vector es positivo o negativo. La cola de la flecha es el punto inicial y la punta de la flecha es el punto final. Los vectores se representan mediante letras en negritas (a, k, v, w, x) o letras con una flecha [pic].B

A

v [pic] [pic]




Vector positivo vector negativo

VECTORES EN Rn

Los vectores se grafican en un sistema decoordenadas rectangulares. Para construir un sistema de coordenadas de este tipo, se selecciona un punto 0, conocido como origen, y se eligen rectas perpendiculares, llamadas ejes de coordenadas, que pasan por el origen. Se denominan a estos ejes como, x, y, z (según sea el caso R2, R3), y se selecciona un sentido positivo para cada uno de ellos, así como una unidad de longitud para medir lasdistancias.

Cada par de ejes de coordenadas determinan un plano conocido como plano coordenado. Estos planos se conocen como plano xy, plano xz y plano yz. A cada punto P en cualquier sistema de coordenada se le asignan números reales a los cuales les llamamos escalares, como por ejemplo en el plano bidimensional un punto P =(x, y) y en el plano tridimensional el punto P=(x, y, z)


VECTORR2

Un vector R2 es un vector que tiene dos coordenadas o que se encuentra en dos dimensiones es decir;
[pic]=(x, y)

[pic]
VECTOR R3

Un vector R3 es un vector que tiene tres coordenadas o que se encuentra en tres dimensiones es decir;
[pic]=(x, y, z)

[pic]

Un vector en Rn es aquel vector que tiene n-coordenadas es decir que se encuentra en n dimensiones. Representar un vectorRn en su forma grafica, se nos dificultaría por eso nada mas lo representamos en su forma analítica, es decir

[pic]=(x1, x2, x3, …, xn)


OPERACIONES CON VECTORES

SUMA Y RESTA DE VECTORES

Sean los vectores v = (x1, y2) y w = (x2, y2), entonces definimos la suma y resta de vectores como:
v + w = (x1+x2, y1+y2)
v - w = (x1-x2, y1-y2)

Ejemplo

Sean vectores v = (5, 3) y w =(2, 1), entonces
v + w = (5+2, 3+1) = (7, 4)
v - w = (5-2, 3-1) = (3, 2)



la suma de vectores se grafica mediante el método del paralelogramo que consiste en formar un paralelogramo mediante los vectores v y w, es decir en el punto final del vector v, se grafica un vector paralelo al vector w, y así mismo al punto final del vector w se agrega un vector paralelo al vector v, una vez hechoesto se grafica un nuevo vector desde el punto inicial del los dos vectores hasta el punto donde se unieron los dos vectores paralelos. El siguiente esquema muestra el método gráfico para la suma de vectores.

[pic]
[pic]

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Si v es un vector y k es una escalar, entonces el producto kv. Se define como el vector cuya longitud es [pic] multiplicado por lalongitud de v y cuya dirección es la misma que v, si k > 0, y opuesta a la de v si k < 0.

Entonces, sea v = (x, y) y k una escalar cualquiera por lo tanto
kv = (kx, ky).

Ejemplo:

si v = (4, 7) entonces 3 v = ((3)(4), (3)(7)) = (12, 21)

[pic]
En ocasiones los vectores que no tienen sus puntos iniciales en el origen surge la pregunta ¿Cómo sería un vector que no inicia en el origen? Para...