calculo vectorial

4.1 DEFINICION DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) en D le corresponde un único número f (x. y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(x, y) es el recorrido de f.
Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces lagráfica de f es el conjunto de puntos (x, y, z) en R^{3} tal que z = f(x, y) y (x, y) está en D.
La primera parte de esta asignatura se ha centrado en el estudio de las funciones de una variable,
𝑓: ℝ → ℝ
Lo que sigue ahora, es el estudio de las funciones de dos variables.
𝑓: ℝ2 → ℝ
Estas funciones se representan a menudo mediante el símbolo z = f(x,y).
Una función de dos variables tiene comodominio parejas de números (así qué se le asignará un número nuevo a cada una de estas parejas). En general, el dominio de una función con n variables (n ≥ 1) está formado por puntos con n coordenadas, y la función asocia a cada punto un número real determinado.
Una función con n variables es una regla f que asocia a cada punto (x1, x2,
. . . , xn) dentro de un determinado conjunto D un número realf(x1, x2, . . . ,
xn). El dominio D es un subconjunto de Rn, es decir, está formado por puntos con n coordenadas. Representaremos esta función escribiendo:

𝑓: D → ℝ o bien D → 𝑓 ℝ
Cuando queramos indicar la acción de la función sobre un punto, entonces escribiremos: (x1, x2 ,….., xn) → 𝑓 𝑓(x1, x2,…, xn)








4.2 GRAFICA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES

La grafica de unafunción de dos variables es el conjunto de puntos (x,y,z)
tales que z= 𝑓(x,y) y x E D. Es decir,
Gra 𝑓 (𝑓)={(x,y,𝑓(x,y)l(x,y)ED}
La grafica de una función de dos variables z = f(x, y) puede interpretarse
geométricamente como una superficie S en el espacio de tal forma que su
proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a
cada punto (x,y) en D le corresponde un punto(x,y,z) en la superficie y, a la
inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y)
en D.

En esta sección se introduce otro importante concepto: las funciones de varias variables. Se introduce también el concepto de derivación parcial. Conceptos muy útiles en las aplicaciones. Se ha visto la gran utilidad de las funciones en la descripción de los diferentes fenómenos dela naturaleza. Hasta el momento se ha considerado solamente funciones de una variable funciones de una variable:
F: R→ R
X→Y = f(X)




4.3 CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

El conjunto de parejas ordenadas x, y se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f(x, y) de x, y”.Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente.
La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. El potencial electrostático en un punto P(x, y) del plano debido a una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por:

Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de lacarga y se les denomina curvas del nivel 

En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante). 
Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la gráfica de dicha funcióncorresponde al conjunto gr(f) := {(x, y, f(x, y)) :(x, y) 2 Dom(f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio. Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k 2 Recorrido (f). De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k) : f(x, y) = k}, el cual...