Calculo Vectorial

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
CÁLCULO VECTORIAL

Alumno: Alexis Vallejo Fecha: 25/10/2012
Paralelo: GR4

Ing. Hugo Rodríguez

SUPERFICIES ELEMENTALES

ELIPSOIDE

Un elipsoide de revolución es la superficie generada por una elipse que gira alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Aveces se le da el nombre de esferoide. En la figura que se presenta abajo se muestra el caso de la elipse de ecuación:

En el sistema de coordenadas , cuyos ejes de simetría son los del sistema,
.

Si se gira alrededor del eje de las abscisas, se obtiene la superficie esbozada en rojo. La tercera coordenada, z, tiene en este caso el mismo papel que y, luego aparece en la misma forma en laecuación del elipsoide:

Como y, z varía entre -2 y 2.

Si se gira alrededor del eje de las ordenadas, se obtiene la superficie bosquejada en azul, y z tiene el mismo papel que x, luego la ecuación es:

Como x, z varía entre -3 y 3. Por tanto las superficies no son idénticas, la en azul tiene mayor «espesor», como se puede adivinar en la figura anterior.

Se han representado las dossuperficies - a la izquierda la de tipo «pelota de rugby» (correspondiente al esbozo en rojo) y a la derecha la del tipo «canto rodado» (esbozo en azul) - aumentando sus diferencias tomando la longitud igual a dos veces la anchura.

Se generaliza el concepto de elipsoide al incluir superficies que no se obtienen por rotación. En un sistema de coordenadas cuyo centro es el de simetría de lasuperficie, cuyos ejes son también ejes de simetría de la misma, la ecuación de un elipsoide cualquiera es:

Las constantes a, b y c son los las longitudes de los semiejes del elipsoide (ver figura, donde a = 2, b = 3 y c = 1) lo que se justifica al observar que los puntos A(a, 0 ,0), A'(-a, 0, 0), B(0, b, 0), B'(0, -b, 0), C(0, 0, c) y C'(0, 0, -c) pertenecen a la superficie porque son solucionesobvias de su ecuación.
Cuando dos de las tres constantes son iguales se trata de un esferoide, y cuando a = b = c, de una esfera de radio a.
El elipsoide se define por ser una cuádrica acotada en el espacio, o, empleando la terminología del espacio proyectivo, por no tener punto infinito.
El elipsoide anterior se obtiene estirando la esfera unitaria de ecuación:

Por un factor a en la direcciónde las abscisas (es decir aplicando la trasformación x→ax) , por un factor b en las ordenadas (aplicando y→by) y c en las z (con z→cz). Estas tres trasformaciones sucesivas multiplican los volúmenes por a·b·c, por tanto, conociendo el volumen de la esfera unitaria:

, se obtiene lo siguiente:

Volumen contenido en el elipsoide es:

Estas tres trasformaciones permitendeducir, a partir de las coordenadas esféricas, la parametrización del elipsoide, es decir la manera de localizarse en esta superficie:

Nótese que θ y Φ no corresponden a ángulos geométricos en el elipsoide mismo sino en la esfera unitaria porque la trasformación (x, y, z) →(a·x, b·y, c·z) deforma los ángulos.
Superficie
La superficie de un elipsoide está dada por la siguiente fórmula:donde

es su excentricidad angular, , y , son las integrales elípticas de primera y segunda especie.
Una ecuación aproximada de su superficie es:

donde p ≈ 1,6075. Con esta expresión se obtiene un error máximo de ±1,061%, en función de los valores de a, b y c. El valor p = 8/5 = 1,6 es óptimo para elipsoides cuasi esféricos, con un error relativo máximo de 1,178%.1
Volumen
El volumen de unelipsoide está dado por la ecuación:

Utilizando Geometría diferencial se puede demostrar la expresión anterior:
Se sabe que el volumen de una región cerrada Ω corresponde a la integral triple de la función f(x,y,z) = 1 y que si se realiza algún cambio de coordenadas ( por ejemplo esféricas) se ha de multiplicar por el Jacobiano del Cambio de Variable y adaptar los límites de integración.

En...