Calculo Vectorial

Calculo vectorial
Algebra de vectores
Definición: el plano es el conjunto de puntos dados por R2= (x,y)x,y ϵ R, x, y son para coordenadas y ϵ es elemento de los números reales.
Representación geométrica:

Definición: el espacio tridimensional es el conjunto de puntos dado por R3= (x,y,z)x,y,z ϵ R
Representación geométrica:

Los ejes en el orden que respecta la ``regla de la manoderecha”. Vista en perspectiva de las cosas proyección en un plano del espacio tridimensional).
Definición: un vector en R2 es un elemento de la forma x,y, donde x,y ϵ R, y que esta representado por el segmento de la línea recta que parte del origen y termina en el punto x,y. A ``x´´ y a ``y´´ se les llama componentes del vector en el eje ``x´´ y en el eje ``y´´ respectivamente.

Representacióngeométrica:

Definición: un vector en R3 es un elemento de la forma x,y,z, donde x,y,z ϵ R, y que esta representado por el segmento de recta dirigido que parte del origen y que termina en el punto x,y,z. A ``x´´, ``y´´ y ``z´´ se les llama las componentes del vector.
Representación geométrica:

Observación: en el punto x,y, X y Y son las coordenadas del punto. En el vector x,y, X y Y sonlos componentes del vector.
Notación: los vectores se denotan por minúsculas con una flecha encima de ellas: a, b, c, n, v etc. Los puntos se denotan por minúsculas regularmente seguidas de las coordenadas: P3,2, Q-4,1,3, R1,1,0, etc.



Trabajo I. grafica los vectores en el plano:a) (3,4)
b) (-2,5)
c) (5,0)
d) (-2,0)
e) (2,4)
f) (0,-3)
g) (-5,-1)
h) (0,7)

II. graficar los vectores en el espacio tridimensional:
a) (3,2,5)
b) (-2,3,1)
c) (4,-3,1)
d) (3,3,-5)
e) (-1,2,-3)
f) (3,-1,-2)
g) (-2,-1,4)
h) (5,-2,-1)
i) (-2,-1,-4)
j) (0, 2,0).
Campos escalares.
Los números reales tienen definidas lasoperaciones de suma y de multiplicación que satisfacen las siguientes propiedades:
1) Si x,y ϵ R, entonces x+y ϵ R
2) Si x,y,z ϵ R, entonces x+y+z=x+y+z
3) Si x,y ϵ R, entonces x+y=y+x
4) Existe un único elemento, el cero: 0 ϵ R, tal que 0+x=x=x+0 para todo x ϵ R
5) Para todo x ϵ R existe un elemento: -x ϵ R, tal que x+-x=0=-x+x.
6) Si x,y ϵ R, entonces x∙y ϵ R
7) Si x,y,z ϵ R,entonces x∙y∙z=x∙y∙z
8) Si x,y ϵ R, entonces x∙y=y∙x
9) Existe un único elemento, el uno: 1ϵR distinto del cero, tal que 1∙x=x=x∙1 para todo xϵR.
10) Para todo xϵR con x+0, existe un elemento: x-1ϵR, tal que x∙x-1=x-1∙x.
11) Si x,y,zϵR, entonces x∙y+z=x∙y+x∙z en este sentido decimos que R-,+,∙es un campo distributivo.

Espacios vectoriales
Para los vectores en R2 y para los deR3 también hay definidas las operaciones que les dan una estructura llamada de espacio vectorial real.
En R2:
* Suma de vectores a,b+c,d=a+c,b+d
* Producto de un escalar por un vector x∙a,b=xa,xb
En R3:
* Suma de vectores a,b,c+d,e,f=a+d,b+e,c+f
* Producto de un escalar por un vector x∙a,b,c=xa,xb,xc
Estas operaciones en cada caso, satisfacen las siguientes propiedades delespacio vectorial:
1) Si a,b ϵV, entonces a + b ϵV
2) Si a,b,c ϵV, entonces a +b+c=a +b+c
3) Si a,b ϵV, entonces a+b =b+a
4) Existe un único vector, el cero 0ϵR tal que a+0=a=0+a para todo a ϵV
5) Para todo vector a ϵV, existe un vector -a ϵV tal que a+-a=0=-a+a
6) Si a ϵV y xϵR, entonces x∙a ϵV
7) Si a,b ϵV y xϵR, entonces α∙a+b=α∙a+α∙b
8) Si a ϵV y α,βϵR, entoncesα+β∙a=α∙a+β∙a
9) Si aϵV y α,βϵR, entonces α,β∙a=α∙β∙a=β∙α∙a
10) Si aϵV, entonces 1∙a=a

( R2, +, ∙) Es un espacio vectorial real.
(R3, +, ∙) Es un espacio vectorial real.

Trabajo II
Realizar la operación de vectores y graficar todo.
1) 2,1+1,3=
2) -3,2+4,-5=
3) 3,2-1,1=
4) -2,5--4,2=
5) 2∙3,2=
6) -3∙2,-1=
7) 3,1,2+2,5,1=
8) -2,1,3-3,-2,1=
9)...