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Axioma del Supremo
En la parte anterior vimos que hay conjuntos acotados superiormente que no poseen máximo. En estos casos
como en el ejemplo del intervalo (−∞, 5) , el candidato a ser máximo era5, pero este no pertenecía al
conjunto.
Sin embargo nuestra intuición nos dice que todo conjunto acotado superiormente posee supremo. De hecho,
la única forma que un conjunto no posea supremoparece ser, que no sea acotado.
Sin embargo esta intuición no se puede deducir de las propiedades de los reales, por lo tanto lo tenemos que
agregar como axioma.
Axioma del Supremo:
Todo conjunto novacío y acotado superiormente
posee un supremo.
Observaciones
Se puede demostrar que todo conjunto no vacío acotado inferiormente pose ínfimo. En efecto, basta
verificar que inf(A) = −sup(−A).
No escierta la propiedad si se cambia supremo por máximo. En efecto (−∞, 5) no tiene máximo pero sí
supremo.
Axioma del SupremoAplicaciones del Axioma de Supremo Semana 08 [9/15]
Aplicación 1
Parailustrar una de las aplicaciones del axioma del supremo, vamos a definir la parte entera de un real x > 0.
Parte Entera
La parte entera de un real x > 0, se definirá como el supremo del conjunto A = {n ∈N : n ≤ x} .Esto está bien
definido pues el conjunto A es acotado superiormente por x y además 0 ∈ A. Por lo tanto por el axioma del
supremo, el conjunto A posee supremo. Este supremo será denotadopor [x] y se llamará cajón inferior de x o
parte entera de x.
Ejemplo:
La parte entera del real 3, 5 es: [3, 5] = 3.
Ahora veamos que [x] es un número natural.
Como [x] = sup(A), el real [x] −
12
, no puede ser una cota superior de A. Luego debe existir un elemento n0 en
A tal que [x] −
1
2 < n0. Por otra parte, como [x] es una cota superior de A se tiene que n0 ≤ [x] .
Veamos que n0es una cota superior de A. Esto lo tendremos si todo natural n que sea mayor estricto que n0,
no pertenece a A.
Si n > n0, se deduce que n ≥ n0 + 1. Pero sabemos que n0 + 1 > [x] +
1
2
Con esto...
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