Calculo

4.- Aplicación de la Integral
4.1.- Definición de Serie
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde N es el índice final de la serie.
4.1.1.- Finita
xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de y se verifica es . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), lamultiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

4.1.2.- Infinita
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,.
Ejemplo 1
Sea x(n) = 1 para todo . Entonces C(x,x)(n) = n + 1 para todo por lo tanto el producto de Cauchy y no es convergente.
Ejemplo 2
Para alguna , sea y . Entonces

Por definición y lafórmula binomial. Dado que, formalmente, y , se ha demostrado que . Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo .

4.2.- Serie numérica y convergencia prueba de la razón (criterio de D’Alembert) y prueba de la raíz (criteriode Cauchy)
Criterio de D’Alembert:
Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos).
Si existe

Con, el Criterio de D'Alembert establece que:
* si L < 1, la serie converge.
* si L > 1, entonces la serie diverge.
* si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
Criteriode Cauchy:
Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo
Entonces, si:
* L < 1, la serie es convergente.
* L > 1 entonces la serie es divergente.
* L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica#Criterio_de_D.27Alembert_o_Criterio_del_Cociente_.28Criterio_de_la_raz.C3.B3n.29

4.3.- Serie de Potencias
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma:

En el cual el centro es a, y los coeficientes cn son constantes.
Ejemplos:
* La serie geométrica es una serie de potencias absolutamenteconvergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1
* La serie de potencias es absolutamente convergente para todo
* La serie de potencias solamente converge para x = 0
http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias
4.4.- Radio de Convergencia
En matemáticas, el radio de convergencia de una serie según el teorema de Cauchy-Hadamard viene dado por la expresión:

Si noslimitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma , con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x – x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 – r, x0 + r), ya quela convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r =
Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar por qué el radio deconvergencia es el dado.
Radio de convergencia finito puys
La función 1 / (1 – x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x – x0 = x – 0 = x, tiene el siguiente aspecto:
.
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x =...