Calculo

Departamento de Matem´ticas
a

MATE
3151

Facultad de Ciencias Naturales
Recinto de R´ Piedras
ıo

Tercer Examen

4 de abril de 2012

Nombre:

No. de estudiante:

Profesor:

Secci´n:
o

Instrucciones
Las reglas para esta prueba son las siguientes:
1. Esta prueba consiste de dos partes: una de selecci´n m´ltiple (12 problemas) y otra de respuesta libre
o
u
(6problemas). Respuesta libre no quiere decir que es opcional, hay que contestar todas las preguntas.
2. Para obtener cr´dito en los ejercicios de respuesta libre, debe mostrar todo su trabajo.
e
3. NO SE PERMITE EL USO DE CELULARES.
4. NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORAS.
´
5. NO SE PERMITE EL USO DE APARATOS ELECTRONICOS (IPADS, IPODS, ETC.) QUE PUEDAN
˜
INTERRUMPIR A SUS COMPANEROS.
Como pruebade que usted ha le´ y entendido las instrucciones, favor de firmar en la caja de abajo.
ıdo

Firma:

P´gina
a

Puntos posibles

2

6

3

12

4

9

5

9

6

24

7

24

8

24

Total:

108

Puntuaci´n obtenida
o

Parte I. Selecci´n M´ ltiple
o
u
1. (3 puntos) Considere la funci´n f (x) definida en el intervalo (0, 4) ilustrada en la figura. Determine,
oseg´n la gr´fica, si la funci´n tiene valores extremos absolutos.
u
a
o
y = f (x)

x

A. f no tiene valores extremos absolutos.
B. f tiene un m´ximo absoluto solamente.
a
C. f tiene un m´
ınimo absoluto solamente.
D. f tiene un m´ximo absoluto y un m´
a
ınimo absoluto.

x
−2
3

2. (3 puntos) Determine la gr´fica de f (x) seg´n la informaci´n dada en la tabla.
a
u
o

2020

4

2

f ′ (x)
0
10

2

15

20
10

40
60

5
80
100
4

A.

4

2

2

2

C.

120

10

2

8

5

6

10

4
15
2
20
3

B.

25

D.

p´gina 2
a

2

1

1
2

2

3

3. (3 puntos) Considere la funci´n f (x) = x2/3 definida en el intervalo [−1, 27]. Encuentre, si alguno, los
o
m´ximos y m´
a
ınimos absolutos de f en el intervalodado.
A. el m´ximo absoluto es 9 en x = 27; el m´
a
ınimo absoluto es 0 en x = 0
B. el m´ximo absoluto es 9 en x = 27; el m´
a
ınimo absoluto es 1 en x = −1

C. el m´ximo absoluto es 9 en x = 27; el m´
a
ınimo absoluto no existe

D. el m´ximo absoluto es 8 en x = 27; el m´
a
ınimo absoluto es 0 en x = 0
E. Todas las anteriores.
F. Ninguna de las anteriores.

4. (3 puntos)Determine todos los puntos cr´
ıticos de la funci´n f (x) = 20x3 − 3x5 .
o
A. x = −2

y

B. x = −2.

C. x = 0, x = −2

x = 2.
y

x = 2.

D. x = 2.

E. Todas las anteriores.
F. Ninguna de las anteriores.

5. (3 puntos) Dada la funci´n f (x) = x + 75 definida en el intervalo [3, 25].
o
x
−f
Encuentre todos los valores c en el intervalo tales que f ′ (c) = f (25)−3 (3) .
25
√
A. 53
B. 3, 25
√
C. 0, 5 3
√
√
D. −5 3, 5 3

E. Todas las anteriores.
F. Ninguna de las anteriores.

6. (3 puntos) Determine la funci´n f (x) cuya derivada es f ′ (x) = x2 + 9 y cuya gr´fica pasa por el punto
o
a
P = (3, 60).
x3
+ 9x + 24
3
B. f (x) = x3 + 9x2 + 24

A. f (x) =

C. f (x) = x3 + 9x + 6
x3
+ 9x
3
E. Todas las anteriores.

D. f (x) =

F. Ninguna de lasanteriores.

p´gina 3
a

7. (3 puntos) Considere la funci´n f (x) ilustrada en la figura. Determine, seg´ n la gr´fica, los intervalos
o
u
a
donde la funci´n es creciente, los intervalos donde la funci´n es decreciente e identifique los valores exo
o
tremos absolutos y/o locales.

5

y=f(x)

4

3

2

1

4

2

2

x

4

A. creciente en (−2, 0) ∪ (2, 4); decreciente en (0,2);
m´ximo absoluto es 2 en x = 0; m´
a
ınimo absoluto es 0 en x = ±2.
B. creciente en (−2, 0) ∪ (2, 4); decreciente en (0, 2);
m´ximo absoluto es 5 en x = 4; m´ximo local es 2 en x = 0;
a
a
x = ±2.

m´
ınimo absoluto es 0 en

D. creciente en (2, 4); decreciente en (0, 2);
m´ximo absoluto es 5 en x = 4; m´ximo local es 2 en x = 0;
a
a
x = ±2.

m´
ınimo absoluto es 0 en

C....