calculo










¿QUE ES EL CÁLCULO?
El cálculo es un sistema de símbolos no interpretados, es decir, sin significado alguno, en el que se establecen, mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre los símbolos para la construcción de fórmulas bien formadas (fbf), así como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; (ósea que ambas tienensiempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad).Un cálculo consiste en:

1. Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.
2. Un conjunto de reglas de formación de “expresiones bien formadas” (EBFs) que permitan entodo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no.
3. Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.

Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresionesdeterminadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomático.

Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto:

1. Es consistente: No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema. Por Ejemplo: No es posible que dada una expresión bien formada del sistema, , y su negación, , sean ambas teoremas delsistema.
2. Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir, mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.
3. Completo: Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer la demostración matemática o prueba de que es un teorema del sistema.

Sin embargo,la misma lógica-matemática ha demostrado que tal sistema de cálculo perfecto "no es posible" (Teorema de Gödel).

HISTORIA DEL CÁLCULO INFINITESIMAL
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Eudoxo y Arquímedes quisieron encontrar el área del círculo. En el siglo XVII Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes.

Sin embargo, fue inventado porNewton alrededor de 1669 y Leibniz alrededor de 1684, y lo desarrollaron ampliamente en el siglo XVIII los Bernouilli, Euler, Lagrange y muchos otros. Pero fue en siglo XIX con el trabajo de Dirichlet, Cauchy, Weierstrass, y otros cuando sus fundamentos fueron puestos sobre una base firme.

Veamos como fueron apareciendo alguno de los conceptos:

Función
El término función fue usado porprimera vez en 1637 por el matemático francés R. Descartes para designar una potencia xn.

Newton y Leibniz contribuyeron decisivamente al desarrollo del concepto de función. Descubrieron el desarrollo de funciones en serie de potencias. En esta época la idea de función era muy restringida.

En 1755 Euler dio la primera definición de función: "Si algunas cantidades dependen de otras de maneraque varían cuando varían las últimas, entonces se dice que las primeras son función de las últimas.

Variable
Al matemático francés F. Viète se le ocurrió la idea de usar letras para representar las variables (normalmente X, Y y Z para los números reales y N para los enteros).

Límites
Wallis (1616-1703) introduce el concepto de límite y el símbolo para el infinito. Newton y Leibnizignoraban una definición precisa de límite y de los conceptos que éste lleva asociado y sin embargo no fue ningún impedimento grave para invertar el cálculo. Tenían una idea intuitiva de los límites. Los conocimientos de los límites fueron asentados en el siglo XIX por Cauchy, Dedekind y Weierstrass.

La famosa curva descubierta en 1906 por Helge von Koch y que originó los fractales fue un proceso...