Calculo

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA Departamento de Matem´tica y Ciencia de la Computaci´n a o

´ CALCULO Segunda Versi´n o

Gladys Bobadilla A. y Rafael Labarca B.

Santiago de Chile 2004

Prefacio
El cero es el silencio antes del n´ mero u El n´ mero es el verbo matem´tico u a Lo matem´tico es el c´lculo de la realidad a a La realidad es lo unico incre´ ´ ıble Loincre´ ıble es lo que no podemos Y lo que no podemos es lo que queremos. Patricio Manns. Este texto es producto - en elaboraci´n a´ n - del proyecto de desarrollo de la docencia o u Texto de c´lculo anual para ingenier´ civil, financiado por la Vicerrector´ de Doa ıa ıa cencia y Extensi´n de la Universidad de Santiago de Chile. o Gran parte de los contenidos de los cap´ ıtulos 1 y 2 est´n sacados delantiguo texto de a C´lculo I escrito por Gladys Bobadilla y Jorge Billeke (Q.E.P.D.). a La idea motriz de los autores para emprender esta tarea es el profundo convencimiento que ´sta es una forma de contribuir a una cultura nacional independiente. e Aunque los temas tratados - generados en Europa entre los siglos 17 y 19 - forman parte del patrimonio universal y existe una amplia y variadaliteratura, no es una raz´n o suficiente para que la universidad renuncie a crear su propio material docente. Esta labor es tan importante como la creaci´n de nuevos conocimientos y necesita, como esta ultima, o ´ de una tradici´n para la cual se debe recorrer un largo camino de errores y rectificaciones. o Adem´s, queremos compartir con los j´venes estudiantes que usar´n este libro, la a o a reflexi´n delfil´sofo Gast´n Bachelard (1884 - 1962) sobre lo que significa enfrentarse o o o al conocimiento cient´ ıfico: ”Frente al misterio de lo real el alma no puede, por decreto, tornarse ingenua. Es entonces imposible hacer, de golpe, tabla rasa de los conocimientos usuales. Frente a lo real, lo que cree saberse claramente ofusca lo que debiera saberse. Cuando se presenta ante la cultura cient´ ıfica, elesp´ ıritu jam´s es joven. Hasta es muy a i

viejo, pues tiene la edad de sus prejuicios. Tener acceso a la ciencia es rejuvenecerse espiritualmente, es aceptar una mutaci´n brusca que ha de contradecir a un pasado.” 1 o Agradecemos los valiosos comentarios de la Dra. Cecilia Yarur, la profesora Graciela Escalona y el se˜ or Luis Riquelme que nos ayudaron a mejorar la presentaci´n de este n otexto. Agradecemos adem´s, el apoyo t´cnico en la escritura digital, de la se˜ orita Evelyn a e n Aguilar y el se˜ or Leonelo Iturriaga. n Finalmente, siendo ´sta una versi´n preliminar, agradeceremos a quienes detecten ee o rrores nos lo hagan saber.

Gladys Bobadilla A y Rafael Labarca B. Santiago, marzo de 2002.

1

Gast´n Bachelard: La formaci´n del esp´ o o ıritu cient´ ıfico. Ed. SigloXXI, 1997.

´ Indice general
1. L´ ımites y continuidad 1.1. Los n´ meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.1.1. La aritm´tica de los n´ meros reales: axiomas de cuerpo . . . . e u 1.1.2. Comparaci´n de los n´ meros reales: axiomas de orden . . . . . o u o 1.1.3. Resoluci´n de desigualdades o inecuaciones . . . . . . . . . . . 1.1.4. Una distancia en R: elvalor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. La continuidad de R: el axioma del supremo . . . . . . . . . . . 1.2. L´ ımites de funciones num´ricas de variable discreta. . . . . . . . . . . e 1.2.1. Las variables discretas y el conjunto N . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Divergencia de sucesiones hacia ±∞ . . . . . . .. . . . . . . . 1.2.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Las funciones num´ricas de variable continua . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.3.2. Representaci´n gr´fica de funciones . . . . . . . . . . . . . ....