Calculo

TRABAJO COLABORATIVO N°1 CÁLCULO DIFERENCIAL

JUAN GABRIEL FERNANDEZ COD. YENY PAOLA DUSSAN HORTA COD. 1.075.541.176 ANA MILETH SALAZAR COD. YEFFERSON CHARRY PERDOMO COD. 1.075.222.703

TUTOR ING. JORGE RONDON Tutor Cead de Bogotá Curso académico: Cálculo Diferencial Grupo: 100410 - 120

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍACOLOMBIA 2011

INTRODUCCION En el contenido de este trabajos encontraremos la temática de la unidad uno de cálculo diferencial, que consta de todo lo relacionado con sucesiones y sus límites y tambien progresiones; ya que son temas muy importantes para nosotros debido a que lo que vemos se puede implementar en la vida cotidiana y profesional. Por otro lado es bueno mencionar que los ejerciciosque encontramos en el desarrollo de este trabajo son todos resueltos, los cuales esperamos que sea de gran ayuda para otras personas que lo necesiten Con el desarrollo de este trabajo se le hizo un repaso general a la primera unidad del modulo y así se pudieron aclarar dudas acerca del trabajo, porque no son temas fáciles de trabajar, pero con la ayuda del tutor y el modulo se logro hacer de unaforma clara y precisa, para así poder demostrar que si valió la pena el esfuerzo que hicimos por presentar un buen trabajo.

1. Hallar los 6 primeros términos de la siguiente sucesión:

a. ���� = (�� − ��)��−�� �� ≥ ��

����=2 = (2 − 1)2−2 = (1)0 = 1 ����=3 = (3 − 1)3−2 = (2)1 = 2 ����=4 = 4 − 1 ����=5 = 5 − 1 ����=6 = 6 − 1
4−2 5−2 6−2

= 3 = 4
4

2 3

=9 = 64

= 5

= 625����=7 = (7 − 1)7−2 = (6)5 = 7776
Entonces ���� = {��, ��, ��, ����, ������, ��������, . . , . . �� − �� ��−�� , … . }

b. ���� =

���� ��+�� ��≥��

3∗1 3 = = 1.5 1+1 2 3∗2 ���� =2 = = 2 2+1 3∗3 9 ���� =3 = = = 2.25 3+1 4 3∗4 12 ���� =4 = = = 2.4 4+1 5 3∗5 5 ���� =5 = = = 2.5 5+1 2 3∗6 18 ���� =6 = = = 2.57 6+1 7 ���� =1 =
Entonces ���� = {��. ��, ��, ��. ����, ��. ��, ��. ��, ��. ����, … , …
������+��

,…}

2. Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia.

a. ���� = −�� ; ���� = ����−�� − ��

��1 = ��0 − 3 = −1 − 3 = −4 ��2 = ��1 − 3 = −4 − 3 = −7 ��3 = ��2 − 3 = −7 − 3 = −10 ��4 = ��3 − 3 = −10 − 3 = −13
Los primeros términos:���� = {−��,-4,-7,-10,-13,…}

���� = −�� − �� ∗ �� = −�� ��1 = ��0 − 3 = −1 − 3 ∗ 1 = −4 ��2 = ��1 − 3 = −1 − 3 ∗ 2 =−7 ��3 = ��2 − 3 = −1 − 3 ∗ 3 = −10 ��4 = ��3 − 3 = −1 − 3 ∗ 4 = −13
Termino general: ���� = −�� − ����

b.

���� = −��; ���� =

����−�� ��

��0 −1 ��1 = = 3 3 −1 ��1 −1 ��2 = = 3 = 3 3 9 −1 ��2 −1 ��3 = = 9 = 3 3 27 −1 ��3 −1 ��4 = = 27 = 3 3 81
Los primeros términos:����

={

−1 −1 −1 −1 3

,

9

,

27 81

,

,…}

��0 = ��1 ��2 ��3 ��4
Termino general: ����

��0 30��0 = 1 3 ��0 = 2 3 ��0 = 3 3 ��0 = 4 3

−1 3 −1 = 3 −1 = 9 −1 = 27 −1 = 81 =

=

−1 3�� ��

3. Sucesiones monótonas. Demostrar que ���� { creciente.

����+��

} es estrictamente

���� =6 ���� =7 ���� =8 ���� =9 ���� =10 ���� =11

6 6 = = 0.461 2∗6+1 13 7 7 = = 0.466 2∗7+1 15 8 8 = = 0.470 2∗8+1 17 9 9 = = 0.473 2∗9+1 19 10 10 = = 0.476 2 ∗ 10 + 1 21 11 11 = = 0.478 2 ∗ 11 + 1 23Entonces es estrictamente creciente porque la diferencia en la sucesión es positiva:

�� = {… , 0.461, 0.466, 0.470, 0.473, 0.476, 0.478 … , … , ��

�� 2��+1

,…,.}

4. Demostrar que ����=

�� ����

es estrictamente decreciente.

 Aplicamos ����+�� − ���� ≤ ��

���� =

�� ��+��
��

−

�� ��

≤ �� =

1 �� 2 +1

−

1 ��

=

��−�� 2 −1 (�� 2 +1)∗��

=

��−1 2�� 2+��

=

−�� ������

El ultimo termino es negativo luego queda demostrado que la sucesión es estrictamente decreciente

���� =1 = ����=2 = ���� =3 = ���� =4 = ����=5 = ����=6 =

1 1 = =1 12 1 1 1 = = 0.25 22 4

1 1 = = 0.166 32 6 1 1 = = 0.125 42 8 1 1 = = 0.1 52 10 1 1 = = 0.083 62 12

Entonces es estrictamente decreciente porque la diferencia en la sucesión es...