Calculo

´ CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I CONTINUIDAD

1. Continuidad Una funci´n f (x) es continua en x0 ∈ R si o
x→x0

l´ f (x) = f (x0 ) ım

ı Es decir que para que una funci´n f sea continua enun punto x0 , x0 debe ahora s´ necesariamente o pertenecer al dominio de f , y debe existir el l´ f (x) que debe ser, precisamente, f (x0 ). ım
x→x0

o Como l´ x = x0 tenemos, sustituyendo estevalor, que una funci´n es continua en un punto ım
x→x0

x0 ∈ R si:
x→x0

ım l´ f (x) = f ( l´ x) ım
x→x0

es decir, f se puede permutar con el l´ ımite. a Observemos que si una funci´n escontinua en x0 y x1 , x2 ∈ Df est´n “cerca” de x0 entonces f (x1 ) o o o est´ pr´ximo a f (x2 ), lo que se verbaliza diciendo o que una funci´n continua a puntos pr´ximos a o les hace corresponder puntostambi´n cercanos o que si una funci´n es continua en x0 , entonces un e o cambio peque˜ o en x produce un peque˜ o cambio en f (x). n n La continuidad es una ausencia pues de cambios bruscos, como sedec´ antiguamente: una funci´n ıa o es continua en un punto si en dicho punto la gr´fica de la funci´n no presenta interrupciones o a o saltos, esto es, “cerca” del punto se puede dibujar la gr´fica de lafunci´n “sin levantar el l´piz del a o a papel”. o o Es usual hacer x = x0 +h ´ h = x−x0 (es decir una translaci´n del origen al punto x0 ) y observando o que l´ h = 0, entonces la continuidad de lafunci´n f en el punto x0 se escribe de la forma: ım
x→x0 h→0

l´ f (x0 + h) = f (x0 ) ım

Como en la definici´n de continuidad aparece el l´ o ımite de una funci´n, todos los resultados anuno ciadospara los l´ ımites generan resultados para las funciones continuas, v.gr.: f (x) > 0 f (x0 ) > 0 Si f (x) es continua en x0 y entonces “cerca” de x0 . f (x0 ) < 0 f (x) < 0 Una funci´n es continua enun conjunto si es continua en cada punto del conjunto. o As´ f (x) = c y f (x) = x son continuas en R . ı: La suma, diferencia, producto y cociente de funciones continuas en un punto x0 es...