calculo

Valores máximos y minimos de una funcion

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el masgrande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una funcion continua es decreciente encierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro crítico minimo relativo, o simplemente minimo.
Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos.
Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos


Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo
Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos
La pendiente de larecta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.
En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.
En un punto critico maximo relativo, al pasar la funcion de creciente a decreciente, suderivada pasa de positiva a negativa.
En un punto critico minimo relativo, la funcion deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.
Máximos y mínimos

Máximos
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Mínimos
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si secumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0

Teorema del valor extremo: Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la función tiene necesariamente un valor máximo y un valor mínimo absolutos en ese intervalo.


Pasos a seguir para determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado:

Sea f(x) continua en un intervalo cerrado .

1. Se obtienen los valorescríticos de la función.
2. Se evalúa la función en los valores críticos que pertenecen al intervalo cerrado y también en los extremos del intervalo.
3. Se seleccionan, de entre estos valores, el valor más grande y el valor más pequeño de la función, los cuales serán respectivamente el máximo absoluto y el mínimo absoluto de esta en el intervalo cerrado dado.
El teorema del valor medio o de Lagrangedice que:
Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:


La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).



FUNCIÓN CRECIENTE FUNCIÓN DECRECIENTE
Numero criticoSi f está definida en c, se dirá que c es un número crítico de f si f'(c) = 0 o si f' no está definida en c.
Existen 2 tipos de números crítico.
Y
f' © no está definida
Número crítico o valor crítico para la primera derivada
Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto quizá en c, f' (c) puedeclasificarse como sigue:
Si f' cambia de negativa a positiva en c, f (c) es un mínimo relativo de f.
Si f' cambia de positiva a negativa en c, f ( c) es un máximo relativo de f .
Si f' no cambia su signo en c, f ( c) no es ni mínimo ni máximo relativo.
Ejemplo:
Usando el criterio de la primera derivada para halla todos los máximos y mínimos relativos de la función dada por
F(x)= 2x3 - 3x2 +...