Calculo

´ CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Problema 0. Se llama astroide a la curva que admite la ecuaci´n: o x3/2 + y 3/2 = a3/2 o ´ param´tricamente: e x = a cos3 (t); y = a sin3 (t), t ∈ [0, 2π] Hallarla longitud del astroide. HINT: Demuestre que si S es el arco de la curva que tiene ecuaciones param´tricas y = ϕ(t), e 1 x = ψ(t), donde t ∈ [α, β], donde ϕ, ψ son funciones de clase C , entonces:
βS=
α

ϕ (t)2 + ψ (t)2 dt

Problema 1. Considere la curva Γ parametrizada por: σ(t) = (t cos(t), t sin(t), t) t ∈ R (i) (ii) (iii) (iiii) (iiiii) (iiiiii) Demuestre que la curva se mueve sobreel manto del cono z 2 = x2 + y 2 . Demuestre que el ´ngulo que forma la recta tangente con el eje z es constante. a Demuestre que el vector normal en cualquier punto de la curva es perpendicular aleje z. Demuestre que el ´ngulo que forma el vector binormal con el eje z es constante. a Calcule la curvatura y torsi´n de Γ. o Compruebe que el cuociente entre estas cantidades permanece constante.(Esta curva recibe el nombre de h´lice c´nica). e o

Problema 2. Dadas las curvas y = mx; y = x2 , considere la regi´n limitada por ambas curvas o y encuentre el valor de m > 0, para que los volumenesde los s´lidos obtenidos al rotar la regi´n o o definida en torno al eje OX y al eje OY , sean iguales. Problema 3. Sea Γ el grafo de una funci´n diferenciable f . o graf o(f ) = (x, y) ∈

R2 :

y= f (x)

(a) Determine una f´rmula para la longitud de Γ o (b) Suponiendo f dos veces diferenciabl, pruebe que la curvatura en el punto (x, f (x)) viene dada por: |f (x)| κ(x) = 2/3 |1 + f (x)2 |(c) ¿Que sucede ahora si f : [a, b] × [c, d] → ?. Determine una f´rmula para la superficie del o 2 grafo de f , si f es diferenciable (como funci´n de o → ).

R

R

R

Problema 4. Calcule lalongitud de las curvas descritas por las siguientes parametrizaciones: (i) σ(t) = (cos4 (t), sin4 (t)) t ∈ [0, 2π] (ii) σ(t) = (cosh2 (t), sinh2 (t)) t ∈ [0, 1] (iii) σ(t) = (cosh(t), sinh(t), t) t ∈...