Calculo

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INTEGRALES MULTIPLES.
INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS.
Suponga que f(x, y) está definida sobre una región rectangular R dada por
R: a<x<b, c<y<d.
Imaginamos R cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x y y. Esas rectas dividen R en pequeños elementos de área "A1, "A2…, "An, escogemos un punto (xk, yp) en cada elemento "Ak y formamos la suma

Si f es continua entoda la legión R, entonces al refinar el ancho de la red para hacer tender "x, "y a cero, las sumas en (1) tienden a un límite llamado integral doble de f sobre R. Su notación es

Entonces,

Igual que en las funciones de una sola variable, las sumas tiende a este límite independientemente de cómo se subdividan los intervalos [a, b] y [c, d] que determinan R, siempre que las normas de lassubdivisiones tiendan ambas a cero. El límite (2) también es independiente del orden en que se numeren las áreas "Ak e independiente de la selección del punto (xk, yk) dentro de cada "Ak. Los valores de las sumas aproximadas individuales Sn depende de esas selecciones, pero al final las sumas tienden al mismo límite. La prueba de la existencia y unicidad de este límite para una función continua f seda en textos más avanzados.
La continuidad de f es una condición suficiente para la existencia de la integral doble, pero no es una condición suficiente para la existencia de la integral doble, pero no es una condición necesaria. El límite en consideración también existe para muchas funciones discontinuas.
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES.
Las integrales dobles de funciones continuastienen propiedades algebraicas que son útiles en los cálculos y en las aplicaciones.
1.
2.
3.
4.
5.
Esta propiedad es válida cuando R es la unión de dos rectángulos R1 y R2 que no se traslapan.
INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES.
Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R yarriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) "Ak en la suma Sn =
"Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como

TEOREMA DE FUBINI PARA CALCULAR INTEGRALES DOBLES.
Suponga quequeremos calcular el volumen bajo el plano z=4-x-y sobre la región rectangular

en el plano xy. Entonces el volumen es

Donde A(x) es el área de la sección transversal en x. Para cada valor de x podemos calcular A(x) como la integral

Que es el área bajo la curva z=4-x-y en el plano de la sección transversal en x. Al calcular A(x), x se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a y.Al combinar (4) y (5), vemos que el volumen de todo es sólido es

Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a cabo ninguno de las integraciones, podríamos escribir

La llamada integral repetida o iterada, dice que el volumen se obtiene integrando 4-x-y respecto a y de y=0 a y=1, manteniendo fija a x y luego integrando la expresión resultante en xrespecto a x=0 a x=2.
¿Qué pasa si calculamos el volumen formando rebanadas con planos perpendiculares al eje?
¿Cómo función de y, el área transversal típica es?

Por tanto el volumen de todo el sólido es

EJEMPLO. Calcule

Solución. Por el teorema de Fubini,

Si invertimos el orden de integración se obtiene la misma respuesta:

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES ACOTADAS NORECTANGULARES.
Para definir la integral doble de una función f(x, y) sobre una región acotada no rectangular, imaginamos de nuevo R cubierta por una retícula rectangular, pero incluimos en la suma parcial sólo las pequeñas piezas de área "A = "x"y que se encuentran totalmente dentro de la región. Numeramos las piezas en algún orden, escogemos un punto arbitrario (xk, yk) en cada "Ak y formamos la suma...
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