Calculo

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INTRODUCCION:
El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.
Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo.
1.1 MEDICION APROXIMADA DEFIGURAS AMORFAS
DEFINICION DE AMORFA:

* Sin forma determinada.
* (del griego, prefijo a, negación, y la palabra morfo, forma; literalmente, sin forma.)

Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.

EJEMPLOS DE FIGURAS AMORFAS:

1.2 NOTACION SUMATORIA(NOTACION SIGMA)
En nuestro desarrollo de la integral definida se empleara sumas de muchos números. Para expresar dichas sumas en forma compacta, es conveniente usar la notación de suma, (notación sumatoria o notación sigma).
El sumatorio o la sumatoria es un operando matemático que permite representar sumas de muchos sumandos.
DEFINICION:

El nombre de esta notación se denomina de la letragriega: (Sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma").
La notación sigma : |
|
DONDE: | La ecuación anterior se lee la "suma de desde hasta." |
| Indica una suma. |
| K es el índice de la suma o variable de la sumatoria. |
| Los números 1 y n indican sus valores extremos. |

| NOTA: Se puede utilizar cualquier variable como índice de suma; “i,j y k” |EJEMPLOS CON LA NOTACION SIGMA.
1. | i=16i | |
2. | i=05(i+1) | |
3. | j=37j2 | |
4. | k=1n1n(k2+1) | |
5. | i=1nf(xi)∆x | |
6. | i=14i2(i-3) | |
7. | i=032i(i+1) | |

| * PARA REALIZAR EN CLASE |
Calcule la siguientes Series:
1.

2.
3.
4.
Exprese cada suma en notación sigma:

1.
2.
PROPIEDADES DE LAS SUMAS: |
1. | |
2. | |
3. | |
4.| |
5. | |
6. | |
7. | i=1nc=cn |

Evaluacion de una suma aplicando las propiedades. i=1ni+1n2
SOLUCION: |
| 1n2i=1n(i+1) | 1n2, factor constante fuera de la suma. (3) |
| 1n2i=1n(i)+i=1n(1) | Escribir como dos sumas. (1) |
| 1n2n(n+1)2+n | Aplicar propiedades. (4 y 7) |
| 1n2n2+3n2 | Simplificar |
| n+32n | Simplificar |

| * PARA REALIZAR EN CLASE |

1.| 2. | 3. |
4. | 5. |

1.3 SUMAS DE RIEMANN
En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
SUMA DE RIEMANN : |
Sea f una funcion definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea ∆ una particion de [a,b] dada por: |
Rp=i=1nf(wi)∆xi |
DONDE: | wi=esalgún numero en [xi-1,xi] para i=1,2,…..,n. |
| ∆xi= es el ancho del i-esimo subintervalo. |
METODOS: Hay cuatro métodos comunes para computar una suma de Riemann:
* Izquierdo
* Derecho
* Medio
* Trapezoidal.
APROXIMACION CON LA SUMA DE RIEMANN
El área por debajo de una curva puede ser aproximada con la suma de Riemann:

Area=k=1nf(wk)∆xk |
DONDE: | wk=es algún numeroen [xi-1,xi] para i=1,2,…..,n. |
| ∆xk= es el ancho del i-esimo subintervalo. |

Dadafx=10-x2, con 1/4≤x≤3, encontrar la suma de riemann para la función f en 1/4,3 para la partición. Dada:
* x0=14,x1=1, x2=112, x3=134, x4=214, x5=3
* w1=12,w2=114 , w3=134,w4=2, w5=234
SOLUCION: Area=k=15f(wk)∆xk
f(w1)∆x1+f(w2)∆x2+f(w3)∆x3+f(w4)∆x4+f(w5)∆x5
=f1234+f114 12+f134 14+f212+f234 (34)=39434+1351612+1111614+612+3916(34)
=11716+13532+11164+3+11764=57932=18.093

| * PARA REALIZAR EN CLASE |
Dadafx=8-x2/2, encontrar la suma de riemann para la función f en 0,6 para la partición. Dada:
* x0=0,x1=1.5, x2=2.5 , x3=4.5 , x4=5, x5=6
* w1=1,w2=2, w3=3.5,w4=5, w5=5.5

1.4. DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA
Si “F” se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite:...
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