Calculo

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE GUERRERO

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NOMBRE DEL ALUMNO(A)______________________________________

Máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Aplicaciones de la derivada
Las palabras de máximo y mínimo, pertenecen a un lenguaje habitual y los usamos generalmente cuando deseamos expresar, lo más grande o lo más pequeño de la cantidad comparada. A menudo la vida nosenfrenta con el problema de encontrar el mejor modo de hacer algo. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para obtener el mejor aprovechamiento. Un médico desea escoger y aplicar la menor dosis de una droga para curar cierta enfermedad. Un fabricante deseará minimizar el costo de la distribución de sus productos. Algunas veces un problema de estanaturaleza puede formularse de tal manera que involucre maximizar o minimizar una función. Si es así, los métodos del cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver el problema. Supongamos entonces que nos dan una función f y un dominio, nuestro primer trabajo es decir si f puede poseer un valor máximo o un valor mínimo en el dominio. Las utilidades pueden expresarse en función del dinerodestinado a la publicidad. Si el que adopta la decisión está en condiciones de determinar, dentro de ciertos límites, cuánto gastar en publicidad, una meta podría ser calcular esa cantidad en una forma que maximice las utilidades. Si x denota el dinero dedicado a la publicidad y f(x) es la utilidad esperada, la gráfica de la función de utilidades podría presentar la forma general que se advierte en lafigura. Si el encargado de la decisión desea encontrar el valor máximo de f(x).

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Máximos y Mínimos
La primera derivada sirve de ayuda para localizar ciertos puntos altos y puntos bajos sobre la gráfica de f .El conocimiento de estos puntos es invaluable para graficar las funciones y resolver problemas de optimización. Estos puntos altos y bajos corresponden a los máximos y mínimosrelativos ( locales) de una función. El nombre de estos puntos obedece a que son más altos o los más bajos respecto a los puntos cercanos

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Sea ahora la gráfica, en ella se pueden observar una serie de puntos donde nuestro ciclista pasa de "subir" a "bajar" o bien de "bajar" a "subir". Esos puntos son donde alcanza la cima de una montaña o bien donde se encuentra en el punto más bajo del recorrido.Tiene por tanto sentido que intentemos clasificar también dichos puntos y que a los puntos donde se alcanzan las cimas los llamemos máximos y a los puntos donde alcanza las menores alturas los llamemos mínimos. Observar que en un máximo que no esté en los extremos la función tiene que pasar de creciente a decreciente y que en los mínimos que no están en los extremos la función tiene que pasar deser decreciente a ser creciente.

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada

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Una función f es creciente en un intervalo (a,b) sí para cualesquiera dos números x1 y x2 en (a,b) , si f(x1)< f(x2) siempre que x1 < x2 Una función f es decreciente en un intervalo (a,b) sí para cualesquiera dos números x1 y x2 en (a,b) , si f(x1)> f(x2) siempre que x1 < x2 a) f escreciente en (a,b) en (a,b) b) f es decreciente

Se dice que f es creciente en un punto c si existe un intervalo (a,b) que contiene a c y tal que f es creciente en (a,b). De manera similar, se dice que f es decreciente en un punto c si hay un intervalo (a,b) que contiene a c y tal que f es decreciente en (a,b). Estas observaciones conducen al siguiente teorema importante. a) Si f ´ (x) > 0 para cadavalor de x en un intervalo (a,b), entonces f es creciente en (a,b). b) Si f ´ (x) < 0 para cada valor de x en un intervalo (a,b), entonces f es decreciente en (a,b). c) Si f ´ (x) = 0 para cada valor de x en un intervalo (a,b), entonces f es constante en (a,b).

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Determinar los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación 1 2 f(x) = (x - 4x + 1). 2

Para ello calculemos la...