Calculo

Cálculo I

Artemio González Lopez Madrid, febrero de 2003

Indice general
0. Preliminares 1
1. La recta real 4

1.1. Concepto de cuerpo 4
1.2. Consecuencias de los axiomas de cuerpo 5
1.2.1. Potencias…………………………………………... 6
1.3. Cuerpos ordenados 7
1.4. Consecuencias de los axiomas de orden 8

1.4.1. Relaciones entre < y •9
1.4.2. Otras consecuencias de los axiomas de orden 10

1.5. Valor absoluto 10
1.5.1. Máximo y mínimo 11
1.6. Axioma del supremo 12
1.7. Consecuencias del axioma del supremo 15

1.7.1. La propiedad arquimediana de los námeros reales ... 16
1.7.2. Intervalos 17
1.7.3. Existencia de raíces n-esimas 18
1.8. Potencias 21
2.Funciones reales de variable real 24
2.1. Definición. Dominio, imagen y grafica 24
2.2. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas 26
2.3. Composicion de funciones 29
2.4. Funciones monotonas 29
2.5. Logaritmos 30
2.6. Funciones periádicas 33
2.6.1. Funciones trigonometricas 34
2.7. Operaciones algebraicas con funciones 38
3.Límites y continuidad 40
3.1. Lámites 40
3.1.1. Límites infinitos 44
3.1.2. Lámites laterales 45
3.1.3.
ÍNDICE GENERAL

Ii

3.1.3. Propiedades de los límites 47
3.2. Continuidad 49
3.2.1. Continuidad en un punto 49
3.2.2. Continuidad en intervalos 53
3.3. Teoremas fundamentales 54
3.3.1. Teorema de Bolzano 54
3.3.2.Teorema de los valores intermedios 55
3.3.3. Teorema de acotación 56
3.3.4. Existencia de maximo y mínimo 57
3.4. Funciones monotonas y continuidad 57
4. Derivación 61
4.1. Definicion 61
4.2. Caílculo de derivadas 65

4.2.1. Regla de la cadena 67
4.2.2. Derivadas de orden superior 71
4.2.3. Derivada de la funciíon inversa 724.3. Teoremas de Rolle y del valor medio 76
4.3.1. Crecimiento, decrecimiento y extremos locales 76
4.3.2. Teorema de Rolle 79
4.3.3. Teorema del valor medio 80

4.4. Extremos locales 81
4.5. Reglas de L'Hospital 84
4.6. Convexidad 86
5. Integración 95
5.1. Preliminares 95
5.2. Propiedades de la integral 103
5.3.Continuidad e integrabilidad 108
5.4. El teorema fundamental del Calculo 111
5.5. Cálculo de primitivas 114

5.5.1. Integracion por partes 116
5.5.2. Cambio de variable 118
5.5.3. Integraciáon de funciones racionales 120
5.5.4. Integrales reducibles a integrales de funciones racionales122
5.6. Integrales impropias 126
5.6.1. Integralesimpropias de primera especie 126
5.6.2. Integrales impropias de segunda especie 132
5.6.3. Integrales impropias de tercera especie 134
5.7. Aplicaciones de la integral 135
5.7.1. Area limitada por la gráfica de una funcion 135
5.7.2. Longitud de un arco de curva 136
5.7.3. Volumen y áarea de un sáolido de revoluciáon 138
5.7.4.

5.7.1.ÍNDICE GENERAL

iii

6. El teorema de Taylor 140
7. Sucesiones y series 147
7.1. Sucesiones numericas 147
7.1.1. Teorema de Bolzano-Weierstrass 149
7.1.2. El criterio de Cauchy 152

7.2. Series numáericas 153
7.2.1. Criterios de convergencia 154
7.3. Sucesiones y series de funciones 159

7.3.1. Convergencia uniforme 1617.3.2. Series de funciones 164
7.4. Series de Taylor y series de potencias 166

Capítulo 0

Preliminares

Aunque aceptaremos la noción de conjunto como un concepto primitivo (es decir, no definido en termino de otros conceptos mas fundamentales), la idea intuitiva de conjunto es la de una colección de objetos. Es esencial que la pertenencia de un objeto a un conjunto determinado sea...