Calculo

Capítulo 1
Elementos de cálculo vectorial
1.1. Campos escalares y vectoriales
Denotamos por R
n
el espacio n-dimensional dotado dela norma euclidiana: k~xk =
√
p ~x · ~x =
x
2
1 + . . . + x
2
n
. Denotaremos genéricamente por ~x o bien por ~r al vectorposición. En R
3
y
usando coordenadas cartesianas se escribe ~r = (x, y, z) = xˆı + y ˆ+ z
ˆ
k, donde ˆı, ˆ y
ˆ
k es el
triedrocorrespondiente a la base canónica de R
3
.
Sea Ω un abierto no vacío de R
3
. Llamaremos campo escalar sobre Ω a toda función a valoresreales f : Ω → R. Llamamos grafo de f al conjunto G(f) = {(~x, f(~x)) | ~x ∈ Ω} ⊂ R
4
. Dado
α ∈ R, se define el conjunto de nivel α dela función f como Nα(f) = {~x ∈ Ω | f(~x) = α} ⊂ R
3
,
el cual puede ser vacío. Al conjunto de nivel se le conoce como superficie denivel o bien como
superficie equipotencial.
Llamaremos campo vectorial sobre Ω a toda función F~
: Ω ⊆ R
3 → R
3
. En coordenadascartesianas, escribiremos
F~
(x, y, z) = F1(x, y, z) ˆı + F2(x, y, z) ˆ + F3(x, y, z)
ˆ
k,
donde para cada i = 1, 2, 3 elcorrespondiente Fi(x, y, z) es un campo escalar sobre Ω. Podemos
representar gráficamente al campo vectorial adhiriendo a un punto (x0, y0, z0) ∈ Ωel vector
correspondiente F~
(x0, y0, z0), y repetir esto para una cantidad finita de puntos, tal como se
ilustra a continuación