calculo

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Javier Pérez González
Departamento de AnálisisMatemático
Universidad de Granada
Asignatura: Cálculo
Curso: Primero
Titulación: Ingeniero de Telecomunicación
septiembre 2006
Índice general
1. Axiomas de los números reales. Desigualdades. Principio de inducción 1
1.1. Números reales. Propiedades algebraicas y de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Principio de inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Funciones reales. Funciones elementales 10
2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Números complejos. Exponencial compleja 26
3.1. Operaciones básicas con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1.Representación gráfica. Complejo conjugado ymódulo . . . . . . . . . . . 28
3.1.2. Forma polar y argumentos de un número complejo . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.3. Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Funciones elementales complejas . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
I
Índice general II
3.3.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4. Ejerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Continuidad 38
4.1.1. Propiedades básicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5. Sucesiones 45
5.1. Sucesiones de númerosreales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.1. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . . 53
5.2. Sucesiones de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6. Continuidad en intervalos cerrados yacotados. Límite funcional 59
6.1. Límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3. Discontinuidades. Álgebra de límites. Límites de funciones monótonas . . . . . . 63
6.4. Continuidad ymonotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 65
6.5. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7. Derivadas 69
7.1.1. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica . . . . . . . . . . 69
7.1.2. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 71
7.2. Teoremas de Rolle y del valormedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2.1. Consecuencias del teorema del valormedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.2. Reglas de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82...