calculo

El conjunto solución de una inecuación con valor absoluto viene dado por las siguientes propiedades:
Sean a,b ∈ R y b > 0
• |a| < b se expresa como: • |a| > b se expresa como:


- b < a < b a < - b ó a > b
• |a| ≤ bse expresa como: • |a| ≥ b se expresa como:


- b ≤ a ≤ b a ≤ - b ó a ≥ b

Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) |x| > 4
x < - 4 ó x > 4
x ∈ (-∞ , - 4) ∪ (4 , ∞)
2) |x| < 4
- 4 < x < 4 ⇔ x ∈ (- 4 ,4)
3) |x| ≤ 4
- 4 ≤ x ≤ 4 ⇔ x ∈ [- 4 , 4]

Resuelve las siguientes inecuaciones:
1) |x - 3| > 1
x - 3 < - 1 ó x - 3 > 1
x - 3 < - 1 ⇔ x < - 1 + 3 ⇔ x < 2
x - 3 > 1 ⇔ x > 1 + 3 ⇔ x > 4
x ∈ (-∞ , 2) ∪ (4 , ∞)
2) |x - 3| < 1
- 1 < x - 3 < 1
- 1 + 3 < x < 1 + 3
2 < x < 4
x ∈ (2 ,4)
3) |x - 3| ≤ 1
- 1 ≤ x - 3 ≤ 1
- 1 + 3 ≤ x ≤ 1+ 3
2 ≤ x ≤ 4
x ∈ [2 ,4]
Resuelve las siguientes inecuaciones:
1) |x - 3| < 2
- 2 < x - 3 < 2
- 2 + 3 < x < 2 + 3
1 < x < 5
x ∈ (1 , 5)
2) |4x + 1| > 0
Siempre se tiene que: |a| ≥ 0 a ∈ R
Como la desigualdad del enunciado es esctricta, el conjunto de soluciones vendrá dado por:
R - { x ∈ R | |4x + 1| = 0 }
|4x + 1| = 0 ⇔ 4x + 1 = 0 ⇔ x = - 1/4
Luego|4x + 1| > 0 ⇔ x ∈ R - { -1/4 }
3) |x - 1| < 5
Los valores reales que verifican dicha expresión son:
|x - 1| < 5 ⇔ - 5 < x - 1 < 5
Por un lado tenemos:
- 5 < x - 1 ⇒ - 5 + 1 < x ⇒ - 4 < x
Por otro:
x - 1 < 5 ⇒ x < 5 + 1 ⇒ x < 6
Por tanto, como - 4 < x < 6 , el conjunto solución es:
S = (-4 , 6)
4) |3x + 1| ≥ 5
Losvalores reales que verifican dicha expresión son:
|3x + 1| ≥ 5 ⇔ 3x + 1 ≤ - 5 o 3x + 1 ≥ 5
Por un lado tenemos:
3x + 1 ≤ - 5 ⇒ 3x ≤ - 6 ⇒ x ≤ - 2 ⇒ x ∈ (-∞ , - 2]
Por otro:
3x - 1 ≥ 5 ⇒ 3x ≥ 6 ⇒ x ≥ 2 ⇒ x ∈ [2 , ∞)
Por tanto, el conjunto solución es el intervalo:
S = (-∞ , - 2] ∪ [2 , ∞)
Resuelve las siguientes inecuaciones:
1)3|2 - x| - 15 ≥ 0
3|2 - x| ≥ 15
|2 - x| ≥ 5
2 - x ≤ - 5 ó 2 - x ≥ 5
2 - x ≤ - 5 ⇔ - x ≤ - 5 - 2 ⇔ - x ≤ - 7 x ≥ 7
2 - x ≥ 5 ⇔ - x ≥ 5 - 2 ⇔ - x ≥ 3 x ≤ - 3
La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la primera desigualdad ó la segunda.
x ∈ (-∞ , - 3] ∪ [7 , ∞)
2) |x - 1| ≤ 5x - 2
- (5x - 2) ≤ x - 1 ≤ 5x - 2
- 5x + 2 ≤ x - 1 ≤5x - 2
a) - 5x + 2 ≤ x - 1 ⇔ 2 + 1 ≤ x + 5x ⇔ 3 ≤ 6x ⇔ 1/2 ≤ x
b) x - 1 ≤ 5x - 2 ⇔ - 1 + 2 ≤ 5x - x ⇔ 1 ≤ 4x ⇔ 1/4 ≤ x
La solución será el conjunto de valores de x que cumplan a) y b)
x ∈ [1/2 , ∞) ∩ [1/4 , ∞) = [1/2 , ∞)
Resuelve las siguientes inecuaciones:
1) 4 + |x| ≥ 3x
|x| ≥ 3x - 4
x ≤ - (3x - 4) ó x ≥ 3x - 4
x ≤ - (3x -4) ⇔ x ≤ - 3x + 4 ⇔ 4x ≤ 4 ⇔ x ≤ 1
x ≥ 3x - 4 ⇔ - 2x ≥ - 4 ⇔ 2x ≤ 4 ⇔ x ≤ 2
La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la primera desigualdad ó la segunda.
x ∈ (-∞ , 1] ∪ (-∞ , 2] = (-∞ , 2]
Resuelve las siguientes inecuaciones:
1) |x + 1| ≥ |1 - 2x|
(|x + 1|)2 ≥ (|1 - 2x|)2
(x + 1)2 ≥ (1 - 2x)2
x2 + 2x + 1 ≥ 1 - 4x + 4x2
0≥ 3x2 - 6x
0 ≥ 3x(x - 2)

Tenemos:
3x = 0 ⇔ x = 0
x - 2 = 0 ⇔ x = 2
• (-∞ , 0): x = - 1 ⇒ 3x = - 3 < 0
⇒ x - 2 = - 1 - 2 < 0
• (0, 2): x = 1 ⇒ 3x = 3 > 0
⇒ x - 2 = 1 - 2 < 0
• (2, ∞): x = 3 ⇒ 3x = 9 > 0
⇒ x - 2 = 3 - 2 > 0...