Calculo

Soluci´n del tercer examen de C´lculo I o a
1. (Tema A) Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 4 millas por hora y la otra ´ ´ camina hacia el noreste a 2 millas por hora. ¿Que tan rapido cambia la distancia entre las personas ´ despues de media hora? Soluci´n. o z y x dx = 4 millas/h dt θ dy = 2 millas/h dt z 2 = x2 + y 2 − 2xy cos θ, √ Como θ = 135◦ , cos 135◦ = − 2/2,entonces √ (∗) z 2 = x2 + y 2 + 2xy. x(t) = 4t, y(t) = 2t, Ahora, x(0,5) = 2 e y(0,5) = 1, y por tanto, √ [z(0,5)]2 = 22 +12 +2 2 =⇒ z(0,5) = √ 5 + 2 2 ≈ 2,7979.

dz ´ Por otra parte, como en el problema se pide , entonces se deriva impl´citamente la ecuacion (∗), ı dt obteniendo dz dx dy √ dy dx 2z = 2x + 2y + 2 x +y , dt dt dt dt dt al despejar dz , se tiene dt

√ √ dx dy + (2y + 2x) (2x + 2y)dz dt dt . = dt 2z Evaluando cuando t es media hora, se obtiene √ √ (2 ∗ 2 + 2 ∗ 1)(4) + (2 ∗ 1 + 2 ∗ 2)(2) dz = √ dt t=0,5 2∗ 5+2 2 √ 10 + 4 2 = ≈ 5,5959. √ 2 2+5 ´ El cambio de la distancia entre las dos personas despues de media hora es de aproximadamente 5,5959 millas por hora.

1. (Tema B) Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 2 millas por hora y la otra ´ ´ caminahacia el noreste a 4 millas por hora. ¿Que tan rapido cambia la distancia entre las personas ´ despues de media hora? Soluci´n. o z y x dx = 2 millas/h dt θ dy = 4 millas/h dt z 2 = x2 + y 2 − 2xy cos θ, √ Como θ = 135◦ , cos 135◦ = − 2/2, entonces √ z 2 = x2 + y 2 + 2xy. (∗) x(t) = 2t, y(t) = 4t, Ahora, x(0,5) = 1 e y(0,5) = 2, y por tanto, √ [z(0,5)]2 = 12 +22 +2 2 =⇒ z(0,5) = √ 5 + 2 2 ≈2,7979.

Por otra parte, como en el problema se pide obteniendo

dz ´ , entonces se deriva impl´citamente la ecuacion (∗), ı dt dy dz dx dy √ dx 2z = 2x + 2y + 2 x +y , dt dt dt dt dt

al despejar

dz , se tiene dt (2x +

dz = dt Evaluando cuando t es media hora, se obtiene dz dt =
t=0,5

√

2y)

√ dx dy + (2y + 2x) dt dt . 2z

(2 ∗ 1 +

=

√ √ 2 ∗ 2)(2) + (2 ∗ 2 + 2 ∗ 1)(4) √ 2∗ 5+2 2 √ 10 + 4 2 ≈5,5959. √ 2 2+5

´ El cambio de la distancia entre las dos personas despues de media hora es de aproximadamente 5,5959 millas por hora. 2. Si un resistor de R ohms se conecta a los bornes de una bater´a de E volts con resistencia interna r, en ı tal caso la potencia (en watts) en el resistor externo es P = E2R (R + r)2 .

´ ´ Si E y r son constantes pero R var´a, ¿cual es el valor maximo de lapotencia? ı Soluci´n. o ´ Para encontrar el valor maximo de la potencia se debe derivar P (R). Entonces, P ′ (R) = d dR E2R (R + r)2 = E 2 (R + r)2 − E 2 R (2 (R + r)) E 2 (R + r) [(R + r) − 2R] E 2 (r − R) = = . (R + r)4 (R + r)4 (R + r)3

´ Ahora se deben encontrar los puntos cr´ticos de la funcion, para ello se iguala la derivada a cero, dado ı que no hay puntos donde la derivada no exista, ya quelas condiciones del problema indican que E y r 2 son constantes positivas. Luego, P ′ (R) = 0, implica que E (r−R) = 0, y en consecuencia, (r − R) = 0, (R+r)3 de donde se obtiene que r = R. Ahora, al encontrar la segunda derivada se obtiene P ′′ (R) = Al evaluarla en R = r, se obtiene P ′′ (r) = 2E 2 r − 2r 1 2 4 = − 8r 3 E < 0. (r + r) d dR E 2 (r − R) (R + r)3 = 2E 2 R − 2r . (R + r)4

´ ´ Como lasegunda derivada es negativa, entonces la funcion es concava hacia abajo; por el criterio de la ´ ´ segunda derivada se tiene que el punto cr´tico corresponde a un valor maximo de la funcion P (R), y en ı ´ consecuencia el valor maximo de la potencia es P (r) = E2r E2 = . 4r (r + r)2

´ ´ (Observacion: la ultima parte tambien se puede hacer aplicando el criterio de la primera derivada). ´

´ ´3. (Tema A) Trace la gra ca de una funcion que cumpla con las condiciones dadas. ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, l´ f (0) = 0, f ım f (x) = 0, l´ f (x) = ∞, ım
x→∞ x→6

f ′′ (x) < 0 en (−∞, 0) y (12, ∞) , y f ′′ (x) > 0 en (0, 6) y (6, 12) . Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad, las ´ as´ntotas, y los maximos y m´nimos. ı ı Soluci´n. o...