calculo

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
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FACULTAD DE MATEMATICAS
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

MAT210E. C´lculo I
a
Control N◦ 2

V.13.05.11

Fila A

Nombre: .............................................................................Secci´n N
o

◦

: ......

(1) El n´mero de personas que consumen un cierto producto anualmente es f (t). Si
u
f (1) = 10000, f (10) =4000 y f (t) es continua en 0, 20 :
(a) ¿Es posible que en alg´n a˜o y hasta un momento de tal a˜o los consumidores
u n
n
hallan sido 6000?
(b) ¿Es posible que en alguna fecha en 0, 20 el consumo halla sido 0?
(c) Si f (t), con t medido en horas, es derivable en 0, 20 , calcule aproximadamente
el n´mero de consumidores por hora en un instante t0 .
u
Fundamente sus respuestas.
(2)

(a)Usando la definici´n de derivada calcule f (1) si f (x) =
o

x2 + 2
.
x+2

2
, donde p(t) significa la
2 + ae−kt
proporci´n de la poblaci´n que conoce el rumor en el instante t; a, k constantes
o
o
positivas.

(b) Un rumor se propaga seg´n la f´rmula p(t) =
u
o

(i) ¿Es posible que toda la poblaci´n conozca el rumor en un tiempo finito?
o
(ii) Si a = 2, ¿se duplica alguna vez lapoblaci´n que conoce el rumor?
o

Tiempo: 70 minutos

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1

Solucionario Fila A
(1) El n´mero de personas que consumen un cierto producto anualmente es f (t). Si
u
f (1) = 10000, f (10) = 4000 y f (t) es continua en 0, 20 :
(a) ¿Es posible que en alg´n a˜o y hasta un momento de tal a˜o los consumidores
u n
n
hallan sido 6000?
(b) ¿Es posible que en alguna fecha en0, 20 el consumo halla sido 0?
(c) Si f (t), con t medido en horas, es derivable en 0, 20 , calcule aproximadamente
el n´mero de consumidores por hora en un instante t0 .
u
Fundamente sus respuestas.
Soluci´n:
o
Para (a):
A causa del teorema del valor intermedio sabemos que debe existir t0 ∈ 1, 10 tal
que f (t0 ) = 6000.
Para (b):
Como no se conoce la expresi´n de la funci´n continua fen el intervalo 0, 20 no
o
o
podemos ni afirmar ni negar que existe t0 ∈ 1, 20 tal que f (t0 ) = 0.
Para (c):
En general, si el incremento de la variable independiente es peque˜o tenemos que la
n
raz´n de cambio es aproximadamente la derivada en el punto, o sea:
o
f (t) − f (t0 )
≈ f (t0 ).
t − t0
(2)

(a) Usando la definici´n de derivada calcule f (1) si f (x) =
o

x2 + 2
.
x+22
, donde p(t) significa la
2 + ae−kt
proporci´n de la poblaci´n que conoce el rumor en el instante t; a, k constantes
o
o
positivas.

(b) Un rumor se propaga seg´n la f´rmula p(t) =
u
o

(i) ¿Es posible que toda la poblaci´n conozca el rumor en un tiempo finito?
o
(ii) Si a = 2, ¿se duplica alguna vez la poblaci´n que conoce el rumor?
o
Soluci´n:
o
Para (a):

f (1 + h) − f (1)f (1) = l´
ım
= l´
ım
h→1
h→1
h
= l´
ım

h→1

(1 + h)2 + 2
−1
1 + 2h + h2 + 2 − (h + 3)
1+h+2
= l´
ım
=
h→1
h
h(h + 3)

h(h + 1)
h+1
1
= l´
ım
= .
h(h + 3) h→1 h + 3
3

2

Para (b):
Para (i):
Como k > 0 se tiene que la funci´n p(t) es estrictamente creciente; adem´s:
o
a
2
2ekt
= l´
ım
= 1,
t→∞ 2 + ae−kt
t→∞ 2ekt + a

l´ p(t) = l´
ım
ım

t→∞o sea la funci´n p(t) tiende asint´ticamente a 1 y nunca toma el valor 1, luego, no es
o
o
posible que toda la poblaci´n conozca el rumor en un tiempo finito.
o
Para (ii):
2
1
1
Cuando a = 2 se tendr´ p(t) =
a
=
y p(0) =
con lo que
2 + 2e−kt
1 + 1e−kt
2
como p(t) es estrictamente creciente y tiende asint´ticamente a 1 es imposible que se
o
duplique alguna vez la poblaci´n queconoce el rumor.
o

3

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
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FACULTAD DE MATEMATICAS
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MAT210E. C´lculo I
a
Control N◦ 2

V.13.05.11

Fila B

Nombre: .............................................................................Secci´n N
o

◦

: ......

(1) El n´mero de personas que consumen un cierto producto anualmente es f (t). Si
u...