Calculo

Cálculo I Tarea 2
Ultima modi…cación: Septiembre 2, 2011.

Nombre (impreso):_________________ Nombre (…rmado):__________ Instrucciones. Muestre sus soluciones en forma apropiada
1. (18 pts) a)Muestre que para cualesquiera valores reales de a; b; c y d es válida la desigualdad a4 + b4 + c4 + d4 b) Demostrar la desigualdad 1 1 1 + + a b c donde a; b y c son números positivos. c) Demostrar quepara cualesquiera valores reales de x y y es válida la desigualdad x2 + 2xy + 3y 2 + 2x + 6y + 4 2. (6 pts) Muestre por inducción matemática que: 1 + 2q + 3q 2 + ::: + nq n
1

4abcd:

9 a+b+c1:

=

1

(n + 1) q n + nq n+1 (1 q)
2

:

3. (12 pts) Muestre que: (1 para cualquier valor entero n 2 y jxj < 1.

x) + (1 + x) < 2n ;

n

n

a) Usando inducción matemática.

b)Usando el teorema del binomio de Newton.

4. (8 pts) Demuestre que para cualquier valor entero positivo de n: 1 1 1 n 1 + 2 + ::: + 2 < 22 3 n n a) Usando desigualdades puramente algebraicas. b)Usando inducción matemática.

5. (6 pts) Hallar todos los valores de a para los cuales el sistema mismo x2 + y 2 + 2x x tiene solución única. y+a = 1; 0;

6. (6 pts) Hallar los pares de los númerosenteros x e y que satisfacen el sistema de desigualdades: y jx2 2xj + 1 > 0; 2 1j < 2:

y + jx

7. (4 pts) Hallar m y n si se conoce que n+1 m+1 : n+1 m : n+1 m 1 =5:5:3

8. (7 pts) En eldesarrollo de p 1 x x+ 4 x

n

el coe…ciente binomial del tercer término es mayor que el coe…ciente del segundo término en 44 unidades. Hallar el término que no contiene x.

9. (15 pts) Muestre lassiguientes identidades acerca del coe…ciente binomial, a) 1+ b) n 1 c) 1+ 1 2 n 1 + 1 3 n 2 + ::: + 1 n n n 1 + 1 n+1 n n = 2n+1 1 : n+1 +2 n 2 + ::: + (n 1) n n 1 +n n n = n2n
1

n 1

+

n 2

+::: +

n n 1

+

n n

= 2n ;

;

10. (6 pts) Para cuál valor de k el término Tk+1 del desarrollo por la fórmula del binomio de Newton de p 100 1+ 3 será al mismo tiempo mayor que los...