Calculo

Ingenier´ Aeroespacial.
ıa
Matem´ticas I. 2012-2013.
a
Departamento de Matem´tica Aplicada II.
a
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 5 (Resultados).- Autovalores y autovectores.
Ejercicio 1.
(1) Determina la matriz de la simetr´ respecto al plano π ≡ x + y − z = 0.
ıa
(2) Determina la matriz de la proyecci´n ortogonal sobre la recta
o
r≡

x + y −z = 0,
x − y + 2z = 0.

(3) Determina la matriz de la simetr´ respecto de la recta
ıa
r≡

x + y − z = 0,
x − y + 2z = 0.

..........................................................................................
Aunque la determinaci´n de las matrices pedidas es algo que ya hemos hecho en temas
o
anteriores, dicha determinaci´n puede ser interpretada desde el punto de vistadel c´lculo de
o
a
autovalores y autovectores.
(1) La matriz de una simetr´ respecto a un plano (en R3 ) tiene como autovalores λ1 = 1,
ıa
con autovectores asociados los vectores no nulos del plano considerado, y λ2 = −1,
con autovectores asociados los vectores no nulos del complemento ortogonal del plano
(la recta perpendicular que pasa por el origen de coordenadas). Tomando unabase
de R3 formada por vectores del plano y vectores de la recta citados, tendremos una
diagonalizaci´n de la matriz pedida a partir de la cual podemos calcular dicha matriz.
o
(2) La matriz de la proyecci´n ortogonal sobre una recta (en R3 ) tiene como autovalores
o
λ1 = 1 (los autovectores asociados son los vectores no-nulos de la recta) y λ2 = 0 (con
autovectores los vectoresno-nulos del plano que pasa por el origen de coordenadas y
es perpendicular a la recta)...
(3) La matriz de la simetr´ respecto de una recta (en R3 ) tiene como autovalores λ1 = 1
ıa
(los autovectores asociados son los vectores no-nulos de la recta) y λ2 = −1 (con
autovectores los vectores no-nulos del plano que pasa por el origen de coordenadas y
es perpendicular a la recta)...
(a)(b)

(c)








1 −2 2
1 −3 −2
−6 −3 −2
1
1 
1
−3 9
6  Tr = 2Pr − I =  −3 2
6 
Tπ =  −2 1 2  Pr =
3
14
7
2
2 1
−2 6
4
−2 6 −3
83

R-84

Tema 5.- Autovalores y autovectores. (Resultados)

Ejercicio 2. Dada la matriz



3
0 a
A =  3 −1 b  .
−2 0 c
(a) Calcula A de forma que (2, 0, −1)T sea un autovector cuyo autovalorcorrespondiente es
λ = −1.
(b) Halla los dem´s autovalores y autovectores.
a
..........................................................................................
(a)





2
2
A  0  = (−1)  0  ⇐⇒ a = 8, b = 6, c = −5.
−1
−1
(b) det (A − λI) = (λ + 1)3 ⇒ λ = −1 es el unico autovalor (triple).
´
Autovectores: (A + I)x = 0.

 


0
−2 

Nul (A + I) = Gen v1 = 1  , v2 =  0  .


0
1
Ejercicio 3. Determina los valores del par´metro α para los que es diagonalizable cada una
a
de las siguientes matrices,






1 0 0
0
2
0
0 −1 α
3
0  , C =  2 3 −α  .
A =  α 1 0  , B =  −1
1 1 2
α α+2 1
0 0
1
..........................................................................................

A: det (A − λI) = (1 −λ)2 (2 − λ) = 0 ⇒ λ1 = 1 (doble), λ2 = 2 (simple)
A es diagonalizable ⇐⇒ dim Nul (A − I) = 2 ⇐⇒ α = 0.
B: det (B − λI) = −(λ − 1)2 (λ − 2) = 0 ⇒ λ1 = 1 (doble), λ2 = 2 (simple)
2
B es diagonalizable ⇐⇒ dim Nul (B − I) = 2 ⇐⇒ α = − .
3
C: det (C − λI) = −(λ − 1)2 (λ − 2) = 0 ⇒ λ1 = 1 (doble), λ2 = 2 (simple)
C es diagonalizable ⇐⇒ dim Nul (C − I) = 2 ⇐⇒ α = 0.

Matem´ticas I.
aIngenier´ Aeroespacial
ıa

Tema 5.- Autovalores y autovectores. (Resultados)

R-85

Ejercicio 4. Dada la matriz



1 0
1
A =  α −2 2  ,
3 0 −1

α ∈ R.

(a) Calcula los valores de α para los que A es diagonalizable.
(b) Para dichos valores de α, calcula los autovalores y los autovectores de A−1 .
(c) Para dichos valores de α, calcula An , n = 1, 2, · · · ....