calculo

UNIVERSIDAD DE PIURA
Facultad de Ingeniería
Curso: Análisis Matemático II
Práctica # 4
Lunes, 11 de Noviembre de 2013
Duración: 1.30 h
Sin libros ni apuntes, solocalculadoras no programables



Enunciar y demostrar el Teorema de Green. El alumno deberá recurrir a esquemas geométricos y deberá plantear las condiciones del estudio, asimismo deberá fundamentarcada uno de los pasos de su desarrollo. (5p)

(ver apuntes de clase)

Evaluar I= , siendo C los segmentos de recta que van de (3,2) a (2,0) y de (2,0) al origen de coordenadas. (5p)C1:{█(x=3→dx=0@y=y→dy=dy)┤ 0≤y≤2

Se tendrá en cuenta el sentido de C1:

I_1=∫_2^1▒〖3y(0)+(3-y)dy=[3y-y^2/2] ■(1@2)=〗

I_1=3-1/2-(6-2)=-1/2-1=-3/2

C2:{█(y=0→dy=0 @x=x→dx=dx)┤ 0≤x≤3Se tendrá en cuenta el sentido de C2:

I_2=∫_3^0▒〖x(0)dx+(x-0)(0)=0〗

Por tanto I = I1+I2 =-3/2

Calcular el trabajo realizado por la fuerza , sobre una partícula que se mueve por la curva, desde P=(0,1,-1) hasta Q=(1,2,1). (5p)

Se sabe que un campo vectorial es conservativo si se cumple que:

∂R/∂y=∂Q/∂z; ∂R/∂x=∂P/∂z; ∂P/∂y=∂Q/∂x
DE la integral se deduce:
P =2xz+y^2; Q = 2xy; R = x^2+3z^2
Luego: ∂P/∂y=2y; ∂Q/∂x=2y ; ∂Q/∂z=0; ∂R/∂x=2x; ∂P/∂z=2x; ∂R/∂y=0
Entonces:
∂R/∂y=∂Q/∂z=0; ∂R/∂x=∂P/∂z=2x ∂P/∂y=∂Q/∂x=2y
Entonces es conservativo:∇f=F=( P,Q,R):{█(∂f/∂x=2xz+y^2; (1) @∂f/∂y=2xy (2)@∂f/∂x=x^2+3z^2 (3))┤
Integrando cada una de las igualdades:
De (1): ∂f=( 2xz+y^2 )∂x →f(x,y,z)=zx^2+xy^2+h(y)+g(z)+w(y,z)+c_1
De (2): ∂f=( 2xy)∂y → f(x,y,z)=xy^2+h’(x)+g(z)+〖w^' (x.z)+c〗_2
De (3): ∂f=( x^2+3z^2 )∂z → f(x,y,z)=zx^2+z^3+h’(x)+h(y)+w^'' (x,y)+c_3
Comparando los resultados:
w(y,z)=0; h(y)=0;g(z)+= z^3; 〖 w〗^' (x.z)= zx^2; h’(x)=0; 〖 w〗^'' (x,y)=xy^2;
c_1=c_2=c_3=c
f(x, y, z) = zx^2+ xy^2+z^3+c
Comprobando: ∇f=(2xz+y^2,2xy,〖 x〗^2+ 3z^2 )= F

Por el Teorema Fundamental del...