Calculo

Cap´ ıtulo 2 Funciones Reales
2.1. Generalidades

Suponemos que el lector trae consigo la noci´n de funci´n general, es decir, haciendo o o un resumen: Sean A y B conjuntos cualquiera, entonces f : A → B, es una correspondencia en virtud de la cual a cada elemento de A viene asociado un elemento de B y s´lo uno. o Si x ∈ A, el elemento de B asociado con x se representa por f (x), (y(x), F (x),G(x), . . .) y recibe el nombre de imagen de x seg´n la funci´n f . u o El conjunto A se llama dominio de la funci´n o dom f = {x ∈ A | ∃ y ∈ B : (x, y) ∈ f } Aquellos elementos de B que son im´genes de al menos un elemento de A, constia tuyen el recorrido de la funci´n o rec f = {y ∈ B | ∃ x ∈ A : (x, y) ∈ f } El recorrido puede o no ser B completo; en caso de que lo sea se dice que f es sobre.(rec f = B). La funci´n ser´ uno a uno si todo elemento del recorrido es la imagen de un solo o a elemento de A. Si f es uno a uno y sobre, se define una nueva funci´n f −1 , llamada inversa de f , o como la funci´n de B a A que tiene la siguiente propiedad: La imagen f −1 (y) de o un elemento arbitrario y de B es el elemento un´ ıvocamente determinado en A cuya imagen bajo f es y, luego pordefinici´n ∀ y ∈ B : f (f −1 (y)) = y, rec´ o ıprocamente −1 ∀ x ∈ A : f (f (x)) = x. N´tese: dom f −1 = rec f o y rec f −1 = dom f

En los siguientes p´rrafos consideraremos las funciones reales de una variable real a (funciones reales), es decir, f : A → B siendo A y B conjuntos de n´meros de reales. u 17

Luis Zegarra A.

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En la notaci´n funcional y = f (x), que es lomismo que (x, y) = f , se conviene que x o recibe el nombre de variable independiente e y el de variable dependiente, dici´ndose e que y es una funci´n de x. o El gr´fico (o grafo) de la funci´n f en el sistema de coordenadas rectangulares XY a o es, Gf = {(x, y) | x ∈ A, y = f (x)} Puede considerarse que el mismo conjunto de puntos forma el gr´fico de la funci´n a o inversa (si ´sta existe) y, m´sa´n, que ´sta viene representada por la ecuaci´n e a u e o x = f −1 (y). Ahora si queremos reservar la letra x para la variable independiente (a su vez la ”y”para la dependiente), la inversa de f vendr´ representada por la a −1 ecuaci´n y = f (x). o En tal supuesto, la gr´fica de f −1 resulta sim´trica respecto a la recta y = x de la a e gr´fica de f . a Dadas f y g dos funciones reales1 ; se define lasuma, producto y cuociente como: (f ± g)(x) = f (x) ± g(x); (f g)(x) = f (x)g(x)
f (x) , g(x)

con dom(f ± g) = dom f · g = dom f ∩ dom g, an´logamente,( f )(x) = a g f dom g = dom f ∩ dom g, en que 0 ∈ rec g.

con

Finalmente, la funci´n compuesta de dos funciones g y f , en las que el recorrido de o g est´ inclu´ en el dominio de f , se define como la funci´n cuyo dominio es el de g a ıdo oy tal que la imagen de un elemento arbitrario en dicho dominio es f (g(x)), es decir: (f og)(x) = f (g(x)). Se dice que: 1. f y g son iguales si y s´lo si dom f = dom g y f (x) = g(x). o 2. f es una restricci´n de g si y s´lo si dom f ⊂ dom g y f (x) = g(x). o o

2.2.

Propiedades

Una funci´n f definida en un conjunto A es mon´tona si no tiene oscilaciones, es o o decir, si al crecer x losvalores de f (x) siempre crecen o siempre decrecen. f es no decreciente en A (respectivamente, creciente, no creciente, decreciente) si ∀ x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) (respectivamente, f (x1 ) < f (x2 ), f (x1 ) ≥ f (x2 ), f (x1 ) > f (x2 )), notemos que las funciones que cumplen cualquiera de estas cuatro propiedades son mon´tonas. o Se dice que una funci´n f est´ acotadasuperiormente (o inferiormente) en el conjuno a to A si existe un n´mero M (´ m) tal que f (x) ≤ M , ∀ x ∈ A (´ m ≤ f (x), ∀ x ∈ A). u o o Se dice que f est´ acotada en A si est´ acotada superiormente o inferiormente. a a
En lo sucesivo, a menos que se indique lo contrario, las funciones que consideraremos ser´n a reales.
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Se dice que una funci´n f es...