Calculo

1

Continguts

C`lcul Infinitesimal I / C`lcul I
a
a

09/10 (1r Q)

Continguts
Programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1. Nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.Funcions d’una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. L’espai Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5. Funcions vectorials de diverses variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6. Continu¨
ıtat i l´
ımits de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7. Derivaci´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
o
8. Teoremes d’aproximaci´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
o
9. Teorema de la funci´ inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
o
10. Teorema de la funci´ impl´
o
ıcita . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
11. Extrems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12. Aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Miscel · l`nia . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
a

2

C`lcul Infinitesimal I/C`lcul I
a
a

09-10 (1rQ)

Programa

3

Programa
(1) NOMBRES REALS
1.1 Nombres naturals i enters. El principi de induccci´.
o
1.2 Nombres racionals: cos ordenat, arquimedi`. Exist`ncia de irracionals.
a
e
1.3Introducci´ axiom`tica dels nombres reals: principi d’encaix.(op)
o
a
1.4 Conjunts acotats. Exist`ncia de suprem i ´
e
ınfim.
1.5 Algunes altres conseq¨`ncies dels axiomes.(op)
ue
1.6 Valor absolut. Propietats.
1.7 Els s´
ımbols ±∞ . Regles d’utilitzaci´.
o
(2) FUNCIONS REALS D’UNA VARIABLE.
(2A) Alguns resultats b`sics.
a
2.1 Domini.
2.2 Continu¨
ıtat.
2.3 Derivabilitat.
2.4Aplicacions: creixement/decreixement, concavitat/convexitat, extrems relatius, inflexions,...
2.5 F´rmula de L’Hˆpital.
o
o
(2B) Representaci´ gr`fica.
oa
2.6 Simetries. Periodicitat.
2.7 Signes, zeros.
2.8 Continu¨
ıtat. L´
ımits laterals.
2.9 Comportament a l’infinit: l´
ımits, as´
ımptotes.
2.10 Derivabilitat. Derivades laterals, l´
ımits laterals de les derivades.
2.11 Intervals decreixement i decreixement. Extrems relatius.
2.12 Intervals de concavitat i convexitat. Inflexions.
2.13 Representaci´ gr`fica aproximada.
oa
(3) L’ESPAI Rn
(3A) Estructura algebraica i m`trica
e
3.1 L’espai vectorial Rn
3.2 Producte escalar
3.3 Norma d’un vector
3.4 Dist`ncia
a
(3B) Dominis elementals
3.5 Boles.
(3C) Topologia elemental.
3.6 Punts interiors, frontera.
3.7 Conjunts obertsi tancats.

4

C`lcul Infinitesimal I/C`lcul I
a
a

09-10 (1rQ)

3.8 Subconjunts densos.(op)
3.9 Punts a¨
ıllats, d’acumulaci´.(op)
o
(3D) Altres nocions topol`giques elementals.
o
3.10 Conjunts acotats.
3.11 Conjunts compactes.
(4) SUCCESSIONS
(4A) Funcions de variable discreta: successions reals.
4.1 Generalitats sobre els problemes plantejats: presentaci´ directa i per...