calculo




CÁLCULO DIFERENCIAL
Docente: Mg Hugo Esaù Monsalve Pèrez
PRESENTACIÒN
El análisis matemático tiene como fundamento el manejo de cierta clase de funciones, cuyos dominios y rangos son subconjunto del conjunto de los números reales, que generalmente son intervalos o uniones e intersecciones de los mismos. Estas funciones se llaman funciones reales de variable real.
Comenzaremos porrevisar el concepto de desigualdad y su solución, debido a que los intervalos de la recta real están definidos como subconjunto de números reales que cumplen ciertas propiedades, y el concepto de valor absoluto necesario para el desarrollo posterior del curso.
Como las funciones son casos particulares de las relaciones definidas de un conjunto en otro, se definen relaciones como subconjuntos delproducto cartesiano de los dos conjuntos. Después de presentar la definición o concepto de funciones reales, estudiaremos sus dominios y rangos.
Esta primera parte la finalizaremos con la definición de las operaciones con funciones: suma, producto, cociente y composición de funciones para producir nuevas funciones a partir de otras conocidas.








Ejemplo 1
a) 7 > 2 porque 7 – 2 > 0b) – 8 > - 12 porque - 8 – (- 12) > 0
c) – 5 < - 2 porque – 5 – (-2) < 0
Una proposición en cualquiera de las formas: a < b, a ≤ b, a > b y a ≥ b se llama una desigualdad. Los símbolos a y b pueden ser números o expresiones en función de una o más variables, que proporcionan números cuando las variables son sustituidas por números de un conjunto dado.
Resolver una desigualdad en unavariable significa determinar la solución de la desigualdad, es decir, hallar dentro de un conjunto de referencia los números que satisfacen la desigualdad.










Nota: Las propiedades 1, 2, 3, 4, 5 tienen su similar cambiando > por <
Intervalos
Un intervalo (del latín intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjuntoconexo de la recta real , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.
Clasificación
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semi abiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).
La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:Notación
Intervalo
Longitud
Descripción


b - a
Intervalo cerrado de longitud finita.
ò

b - a
Intervalo semi abierto (cerrado en a, abierto en b)
ò

b - a
Intervalo semi abierto (abierto en a, cerrado en b)
ò

b - a
Intervalo abierto finito
ò


Intervalo semi abierto
ò


Intervalo semi abierto
ò


Intervalo semi abiertoò


Intervalo semi abierto
ò


Intervalo a la vez abierto y cerrado.


0
Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).

no existe
Sin longitud
Conjunto vacío
Propiedades
1. La intersección de intervalos de es también un intervalo.
2. La unión de intervalos de no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
3. Las partes conexas deson exactamente los intervalos.
4. Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta».
5. La imagen por una función continua de un intervalo de es un intervalo de. Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.
Ejercicios propuestos
1. Sean = el universal referencial. Dados ;; Hallar
a)
b)
c) Hacer las representaciones gráficas de losconjuntos
2. Sean ; ; Hallar y hacer las representaciones gráficas de los conjuntos
a)
b)
Escribir cada uno de los siguientes conjuntos, con la notación utilizada en el texto para intervalos. Catalóguelos según sean abiertos, semi abiertos o cerrados y graficar.
3.
4.
5.
Escribir los siguientes intervalos con notación de conjuntos
6.
7.
8.
Escribir los siguientes...