Calculo

INDICE
ÁLGEBRA DE VECTORES _______________________________ 3
VECTORES EN EL PLANO ____________________________________________ 3
Operaciones con vectores. __________________________________________________ 5
Propiedades de las operaciones con vectores ___________________________________ 7
Vector unitario____________________________________________________________ 7
Vectores unitarioscanónicos ________________________________________________ 8

VECTORES EN EL ESPACIO ___________________________________________ 9
Distancia entre dos puntos __________________________________________________ 9
Vectores en el espacio ____________________________________________________ 10
Operaciones con vectores en el espacio ______________________________________ 10
Producto escalar_________________________________________________________ 10
Propiedades algebraicas del producto escalar __________________________________ 11
Ángulo entre dos vectores _________________________________________________ 11
Dirección de un vector en el espacio _________________________________________ 12
Proyección de un vector ___________________________________________________ 13
Productovectorial ________________________________________________________ 15
Propiedades del producto vectorial __________________________________________ 16
Producto escalar triple. ____________________________________________________ 21

RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO ________ 22
RECTAS EN EL ESPACIO ____________________________________________ 22
Ecuaciones paramétricas yecuaciones simétricas de la recta______________________ 22

PLANOS EN EL ESPACIO ____________________________________________ 24
Ecuación de un plano _____________________________________________________ 24
Ángulo entre dos planos ___________________________________________________ 25
Trazado de planos en el espacio ____________________________________________ 26
Distancia de un punto a un plano____________________________________________ 28
Distancia de un punto a una recta ___________________________________________ 29

SUPERFICIES EN EL ESPACIO _______________________________________ 30
Esferas ________________________________________________________________ 30
Cilindros _______________________________________________________________ 31
Superficies cuádricas_____________________________________________________ 32
Superficies de revolución __________________________________________________ 37

FUNCIONES VECTORIALES ____________________________ 39
FUNCIÓN VECTORIAL _______________________________________________ 40
Dominio de una función vectorial ____________________________________________ 41
Operaciones con funciones vectoriales_______________________________________ 42
Límites y Continuidad _____________________________________________________ 42
Derivación de funciones vectoriales __________________________________________ 43
Integración de funciones vectoriales _________________________________________ 45

DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ______________________ 46
Definición de velocidad, aceleración y rapidez__________________________________ 47
Movimiento de proyectiles – Tiro parabólico____________________________________ 49
Vectores tangentes y vectores normales ______________________________________ 53
Vector aceleración – componentes tangencial y normal __________________________ 59

M.C. Óscar Ruiz Chávez
Apuntes de Cálculo III

1

LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA __________________________________62
Longitud de arco _________________________________________________________ 63
Curvatura ______________________________________________________________ 65

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES ____________________ 67
FUNCIONES DE 2 VARIABLES ________________________________________ 68
Gráfica de funciones de 2 variables __________________________________________ 69
Límites y Continuidad...