calculo



Las funciones
en el contexto de
los problemas de máximos
y mínimos



La figura muestra a la izquierda una hoja de cartón a la que se le cortan cuadrados iguales en cada esquina y se dobla para formar una caja sin tapa, como lo muestra el dibujo de la derecha. ¿De qué tamaño deben ser los cuadrados que se quitan para que la caja tenga el máximo volumen posible?



PROPÓSITOAntes de que revises el contenido de esta unidad, es muy importante de que conozcas: que aprenderás y para que aprenderás.


¿Qué aprenderás?étodos del precálculo para aproximarte a la solución de los problemas de máximos y mínimos.
Conceptos de función, variables, dominio, rango, así como un método aritmético- geométrico para graficar funciones.
Utilizar la computadora para resolverproblemas de máximos y mínimos.


¿Cómo lo lograras?Resolviendo problemas de la vida cotidiana en los que realizarás en equipo un trabajo sistemático y ordenado, que tiene dos momentos: en el primero, tu equipo trabajará para proponer sus ideas y alternativas de solución a los problemas planteados; después, en un segundo momento, en el grupo cada equipo expondrá sus resultados y argumentará sobrecómo los obtuvieron.
Como producto de este trabajo se llegará a la solución de los problemas. También utilizarás la computadora y la calculadora.


¿Para qué aprenderás?Para conocer la utilidad de la matemática en la resolución de problemas de máximos y mínimos, así como para contextualizar el concepto función. Además se pretende que con esta forma de trabajo se cumplan los propósitosgenerales de nuestro bachillerato, como son:
Desarrollar tu creatividad y tu habilidad para resolver problemas y que aprendas a trabajar en equipo.
Aprender a escuchar con propiedad a tus compañeros y desarrollar tu habilidad para la lectura y comprensión, tu expresión oral y escrita, así como tu capacidad para tu crítica propositiva y la crítica constructiva.
Propiciar valores como tu autoestima, lavaloración de tu trabajo, tenacidad, tu sentido de responsabilidad, la solidaridad, la libertad y justicia.




Introducción

Es muy común encontrarse en la vida con situaciones en las que es necesario tomar la mejor decisión posible; es decir, la decisión óptima. Tales problemas abundan en las distintas ramas de la ciencia y la tecnología, como la economía y la ingeniería. Para resolverestos problemas es indispensable elaborar un modelo matemático que se llama función del problema.
Por ejemplo, en la industria es frecuente enfrentar la exigencia de producir la mayor cantidad posible de dispositivos con las mínimas pérdidas de material, o de fabricar piezas que sean lo más resistentes posible y al mismo tiempo lo más ligeras que sea posible; de reducir los gastos de producción,economizando no solamente materia prima sino también combustible, energía eléctrica, tiempo y otros factores. Estos problemas que se reducen a obtener un efecto máximo (máxima producción, máxima resistencia, etc.) o un mínimo (mínimas pérdidas, mínimo peso, mínimos costos, etc.) que se conocen con el nombre de problemas de optimización (también se les llama problemas sobre máximos y mínimos oproblemas sobre extremos).
La experiencia ha mostrado que enfrentar situaciones de este tipo con ayuda de las matemáticas resulta útil y, en la mayoría de los casos, imprescindible.
El empleo de las matemáticas en la resolución de problemas de maximización empezó aproximadamente hace 25 siglos. Al principio no hubo un enfoque único en la solución de problemas de optimización. Fue hasta el siglo XVIIcuando se creó un método general que permitió resolver problemas de máximos y mínimos de la más diversa naturaleza, gracias a las aportaciones que durante siglos hicieron ilustres sabios y científicos de todas las épocas como: Euclides, Arquímedes, Apolonio, Herón, Tartaglia, Torricelli, Johann y Jacob Bernoulli, Fermat, Barrow, Newton, Leibniz y muchos otros.


Este método general,...