Calculo

31 mayo 2010

Cálculo

Índice

Índice
Índice i
1
1.1
1.3
1.6

Números reales 3
El conjuntos de los números reales 3
1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales 5
Valor absoluto 7 1.4 El principio de inducción 7 1.5 Intervalos y conjuntos destacados 10
Ejercicios 11

2 Números complejos 15
2.1 Introducción 15
2.2 Forma binómica de un número complejo 17
2.3Representación
gráfica. Conjugado y módulo de un número complejo 18 2.4 Forma polar y argumento de un
número complejo 20 2.5 Funciones elementales 22 2.6 Ejercicios 26
3 Sucesiones de números reales 31
3.1 Definición y propiedades. 31 3.2 Sucesiones parciales 33 3.3 Monotonía 34
siones divergentes 35 3.5 Criterios de convergencia 37 3.6 Ejercicios 38

3.4 Suce-

4 Límites y continuidad 51
4.1 Límitefuncional 51 4.2 Límites infinitos y en el infinito 52 4.3 Cálculo de límites 55
4.4 Continuidad 56
4.5 Teorema del valor intermedio 58
4.6 Monotonía 60
4.7 Ejercicios 61
5 Derivabilidad 71
5.1 Definición. Recta tangente. 71 5.2 Reglas de derivación 73 5.3 Teorema del valor medio 74
5.4 Reglas de L’Hôpital 76
5.5 Derivadas de orden superior 77
5.6 Polinomio
de Taylor 78 5.7 Concavidad yconvexidad 82 5.8 Algunas aplicaciones de la derivada 83
5.9 Ejercicios 85
6 Integración 115
6.1 Funciones integrables 115 6.2 Teorema fundamental del Cálculo 120 6.3 Cálculo de áreas
de regiones no acotadas. Integrales impropias 122 6.4 Cálculo de primitivas 126 6.5 Aplicaciones de la integral 134 6.6 Ejercicios 137
7 Series numéricas 165
7.1 Definición y propiedades 165 7.2 Convergenciaabsoluta e incondicional 169 7.3 Criterios
de convergencia para series de términos no negativos 170 7.4 Otros criterios 172 7.5 Suma
de series 173 7.6 Ejercicios 176
8 Series de potencias 189
8.1 Definición 190
8.2 Criterios de convergencia 190
8.3 Funciones definidas mediante
series de potencias 191 8.4 Desarrollo de Taylor 192 8.5 Cálculo del desarrollo en serie de
potencias 193 8.6 Algunasaplicaciones de las series de potencias 195 8.7 Ejercicios 197
9 Ecuaciones diferenciales ordinarias 203
9.1 Introducción 203
9.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 206
9.3 Métodos de
resolución de edos de primer orden 208
9.4 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden

–i–

Índice

superior 217
9.5 Ecuaciones lineales de orden superior 218
lineales con coeficientes constantes221 9.7 Ejercicios 227

9.6 Ecuaciones diferenciales

10 Límites y continuidad de funciones de varias variables 245
10.1 El espacio euclídeo Rn 245 10.2 Funciones de varias variables 248 10.3 Límite funcional 250 10.4 Continuidad 251 10.5 Extremos absolutos 252 10.6 Ejercicios 253
11 Diferenciabilidad 259
11.1 Derivadas parciales 259 11.2 Función diferenciable 260 11.3 Reglas de derivación263
11.4 Teorema de la función inversa y Teorema de la función implícita 263 11.5 Polinomio de
Taylor 267 11.6 Extremos relativos 268 11.7 Extremos condicionados 273 11.8 Extremos
absolutos 276 11.9 Ejercicios 277
12 Integrales múltiples 319
12.1 Integrales dobles 319 12.2 Integración en dominios acotados 321 12.3 Integrales en
dimensiones superiores 323 12.4 Cambio de variable 323 12.5Aplicaciones 327 12.6 Ejercicios 327
A Funciones 339
A.1 Definiciones 339 A.2 Funciones elementales 346
B Geometría 357
B.1 Parábolas, elipses e hipérbolas 357 B.2 Superficies cuadráticas 358
C Algunas tablas 363
C.1 Derivadas 363 C.2 Desarrollo de Taylor 364 C.3 Primitivas 364
D Progresiones aritméticas y geométricas 367
D.1 Progresiones aritméticas 367 D.2 Progresiones geométricas 368
EAlgunos ejemplos y contraejemplos 369
Glosario 371

– ii –

Números reales

El conjuntos de los números reales

Números reales
1
1.1 El conjuntos de los números reales 3 1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales 5
1.3 Valor absoluto 7
1.4 El principio de inducción 7
1.5 Intervalos y
conjuntos destacados 10 1.6 Ejercicios 11

Existen diferentes formas de formalizar el...