Calculo

CÁLCULO DIFERENCIAL TALLER 0 1. Expresar el área de un triángulo equilátero como función de la altura h del triángulo. 2. Se va a construir una caja rectangular abierta con una base cuadrada de longitud x y un volumen de 16.000 cm 3 . Expresar el área A de la caja como una función de x. 3. Considerar un rectángulo inscrito en un círculo de radio a cm. Expresar tanto el área A como el perímetro Pde dicho rectángulo en función de la longitud de su base x.
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R/. A = x 4a 2 − x 2 , 0 < x < 2a ; P = 2x + 2 4a 2 − x 2 , 0 < x < 2a . Un envase cerrado de hojalata cuyo volumen es de 60 cm 3 tiene la forma de un cilindro circular recto. a. Expresar el área A de la superficie total del envase como función del radio r de la base. b. Expresar el área A de lasuperficie total del envase en función de la altura h del cilindro. 120 120 , 0 < r < ∞ . b. A = + 4 15π h , 0 < h < ∞ . R/. a. A = 2 π r 2 + r h Para el envase del ejercicio anterior, si el precio del material que se usa para la base y la tapa es de $4 por cm 2 , mientras que el costo del material para la parte curva es de $2 por cm 2 , expresar el costo total C del material del envase como función delradio r de la base, e indicar el dominio de la función resultante. 240 R/. C = 8π r 2 + , 0 < r < ∞. r Un fabricante de envases de cartón desea construir cajas, sin la tapa superior, usando láminas cuadradas de cartón de 120 cm de lado, recortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. a. Si x cm. es la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse,expresar en cm 3 el volumen de la caja a fabricar, como función de x. b. ¿Cuál es el domino de la función resultante? Un granjero que tiene 750 pies de cerca, desea encerrar un lote rectangular y dividirlo en cuatro corrales, colocando cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo. Expresar el área total A del lote en términos de la longitud x del lado del lote paralelo a las cercas interiores.Indicar el dominio de la función. 5 R/. A = x (150 − x ) , 0 < x < 150 . 2 Se bombea agua en un tanque cónico invertido, cuya altura es de 1.2 m y cuyo radio es de 40 cm. Expresar, en m 3 , el volumen del agua dentro del tanque, como una función del radio r de la superficie del agua. Se debe construir una pista de atletismo con dos segmentos rectos y dos semicirculares, como se muestra en lasiguiente figura. El radio de cada segmento semicircular es r. La longitud de la pista debe ser de 1 km. Expresar el área limitada por la pista como función de r.

10. Expresar la distancia d el punto (0, 0 ) a un punto (x , y ) sobre la recta y = 2 x − 3 , en términos de x solamente. Indicar el dominio de la función. R/. d = 5x 2 − 12 x + 9 , − ∞ < x < ∞ . 11. En el proyecto de una Heladería secalcula que si se instalan sillas para ubicar entre 40 y 80 personas, la ganancia diaria será de $8.000 por silla, pero si la capacidad de sillas sobrepasa las 80, entonces la ganancia diaria por cada silla disminuye $40 por el número de sillas excedentes. Si x es el número de sillas y G la ganancia diaria, se pide: a. Expresar a G como función de x. b. Dibujar la gráfica de G y hallar su dominio. 12.Suponga que una farola se encuentra en el extremo superior de un poste de 15 pies de altura, situado en una calle horizontal y recta. Si un hombre de 6 pies de estatura camina por dicha calle, alejándose del poste, expresar la longitud de su sombra s (en cualquier instante t) en términos de la distancia x del hombre al poste. 2 R/. s = x , 0 < x < ∞ . 3 13. En un pequeño poblado con 5.000habitantes, la tasa de propagación de una epidemia (índice de variación del número de personas infectadas) es conjuntamente proporcional al número de personas atacadas y al número de personas que todavía no se han contagiado. a. Si la epidemia se difunde con una tasa de 9 personas por día cuando hay 100 personas contagiadas, exprese la rapidez de propagación de la epidemia como función del número de...