calculo

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

SIGNIFICADO GEOMETRICO DE LA FUNCIÓN Z=f(x, y)

Si el dominio de la función es un conjunto abierto o cerrado, la gráfica de la función f se define del siguiente modo.


Si trazamos los puntos (eex, y, f(x,y)) en el espacioobtendremos superficies de diferentes formas unas conocidas y simples, otras complicadas, que para graficarlas es necesariousar la computadora.
Algunas aplicaciones sencillas son:

a) El plano:

b) La semicircunferencia superior: radio de la esfera

c) El paraboloide

d) El paraboloide hiperbólico

e) La función constante , es un plano paralelo al plano XY


TOPOLOGIA DE Rn

DEFINICION (1).- Sean: es decir ; . Entonces, la distancia del punto X al punto Y denotado por d(X, Y)lo definimos como el número:

d(X, Y) =

Observación.

DEFINICION (2).- Sean , entonces definimos.
a) BOLA ABIERTA.- Llamada también Vecindad Abierta de centro y radio denotado por y definido como el conjunto dado por:



b) BOLA CERRADA.- de centro y radio , denotado por y definido como el conjunto:


c) BOLA REDUCIDA.- de centro y radio ,denotado por y definido como el conjunto:


DEFINICION (3).- Un conjunto es abierto tal que y;
S es cerrado es abierto.

DEFINICION (4).- Un punto se dice que es punto de acumulación de
toda bola reducida de centro contiene infinitos puntos de S
Es decir:


DEFINICION DE LÍMITE

Sea , una función de n variables definida en D y sea
unpunto de acumulación ó punto límite de D; entonces:



En términos de vecindades la definición será:




REGLA DE DOS TRAYECTORIAS

TEOREMA.- Sea la función y un punto de acumulación de D= dominio de f. Si dos trayectorias digamos
que pasan por producen dos valores límites diferentes para f .

Entonces: NO EXISTE.

CONTRARIAMENTE.- Para todatrayectoria que pasa por , se tiene:





CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES

DEFINICION (1).- La función es continua en el punto si se cumplen las siguientes condiciones:
i) f está bien definida en , es decir
ii) ( es decir el límite es un único número real)
iii)

DEFINICION (2).- La función es continua en el punto si para cadaexiste un tal que si y



OBSERVACIÓN.- La función es continua en la región abierta D si es continua en todo punto de D.


DERIVADAS PARCIALES

DEFINICIÓN: Sea una función definida en el conjunto abierto D.
Entonces definimos:

i) La derivada parcial de f con respecto a x como la función denotada y dada por:



Si este límite existe.

ii)Análogamente, la derivada parcial de f con respecto a y como la función denotada
y dada por :



Si este límite existe.


DEFINICIÓN: una función definida en el conjunto abierto D. La

derivada parcial de f con respecto a la k-ésima componente del vector

X de D, es la función con regla de correspondencia:



Si éste límite existe


OBSERVACIÓN:También.



Si este límite existe.

Donde; y ej es el vector estándar, ej = (0,0,…,1,…,0)


INTERPRETACION GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES


Sea una función definida en el conjunto abierto D, con derivadas

parciales en (x0, y0) y gráfica dados por :






Sabemos que; la gráfica de una función de dos variables es una superficie que tienepor

ecuación; z = f(x, y) .

Ahora si mantenemos la variable y constante ( digamos y=y0), entonces z = f(x, y0) es la

ecuación de la curva que resulta de la intersección del plano y = y0 con la superficie

z = f(x,y) es decir : : ó z = f(x,y0)

y, D1f(xo,yo) es interpretado gráficamente como la pendiente de la recta tangente T1 a la

curva en...