Calculo

La recta numérica.
La recta numérica es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando "ilimitadamente" en cada sentido. Frecuente es usada como ayuda paraenseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.
[pic]
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en azul.
Los números naturales
|[p|Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: [pic]={1,2,3,4...}|
|ic| |
|] | |

• Con los números naturales  [pic]se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturalesforman un semigrupo conmutativo.

• Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.

• El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potenciassucesivas de un número [pic] , es decir, el conjunto [pic]  cuando [pic] es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.

• El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe unarelación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, [pic]e [pic], o bien [pic], o bien[pic].

• Todo subconjunto [pic]no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento [pic]tal que para todo [pic]de [pic]se tiene [pic].
Por ejemplo, elsubconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.

• Principio de inducción matemática: si un subconjunto [pic]de [pic]verifica que [pic]y, si [pic], resulta que [pic], entonces [pic].

o Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo [pic]natural. Por ejemplo, si queremosprobar que la suma de los [pic]primeros números naturales es [pic]podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente:

Para [pic]es claro que la suma de los 1 primeros números naturales es [pic].
Suponiendo cierta la fórmula para [pic], es decir, [pic], veamos que también es cierta para [pic],

[pic]
Luego la fórmula es válida para todo nnatural.

o Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las siguientes fórmulas:

▪ [pic]

▪ [pic]

• Dados dos números naturales [pic], no es cierto en general que exista un natural [pic]tal que [pic]. Si tal [pic]existe se denomina cociente exacto de [pic]por [pic], y la división se denomina exacta. En este caso se dice que [pic]esdivisible por [pic], o que [pic]es un divisor de [pic], o que [pic]es un múltiplo de [pic].
Cuando no es así, siempre es posible encontrar [pic]y [pic]que verifiquen [pic]con [pic]Los números [pic], [pic], [pic]y [pic]se denominan dividendo, divisor, cociente y resto respectivamente y el procedimiento para determinar [pic]y [pic]a partir de [pic]y [pic]se denomina división entera....