Calculo

Egomez M.Sc.

SEÑALES Y SISTEMAS

TRANSFORMADA Z (Cap. 6)
Extraído del documento Directriz de la asignatura Señales y Sistemas
Curso para Ing. Eléctrica, Ing. Electrónica, Ing. Mecatrónica

Eduardo Gómez Vásquez

Universidad Tecnológica de Bolívar
Cartagena de Indias

Egomez M.Sc.

TRANSFORMADA Z

6.1 DEFINICION

La Transformada Z es el equivalente de la Transformada deLaplace,
pero para tiempo discreto. La Transformada de Fourier de tiempo
discreto se definió como:
∞

TF {x[n ]} = ∑ x [n ]e − jΩn
k = −∞

Al igual que la Transformada de Fourier de tiempo continuo, la Transformada de
Fourier de tiempo discreto, es función de una exponencial compleja, que en este
caso es una función periódica:
Ω
e j = cos Ω + j sen Ω

La magnitud de ejΩ, siempre es igual auno. La generalización obtenida con la
Transformada Z, consiste en definir: z=rejΩ, de tal modo que z abarca ahora todo
el plano complejo

TZ {x[n]} = X ( z ) =

∑ x[n](re )
∞

jΩ −n

n =−∞

∞

= ∑ x[n]z − n
n = −∞

Al igual que la Transformada de Laplace, la Transformada Z se puede escribir
como la Transformada de Fourier de (x[n]r-n):

X (z) =

∑ (x[n]r )e
∞

−n

−jΩ

n= −∞

Aplicando la Transformada inversa de Fourier a ambos miembros de la ecuación:

x[n]r −n =

1
2π

∫ X ( z )e

jΩn

dΩ

2π

Despejando x[n] y haciendo el cambio de variable z=rejΩ, resulta dz=jrejΩdΩ=jzdΩ,
si mantenemos fija r:

rn
1
jΩn dz
n −1
x[n] = TZ {X ( z )} =
∫π X ( z )e z = 2πj 2∫π X ( z) z dz
2πj 2
−1

Se obtiene la definición de Transformada inversaZ.

Egomez M.Sc.

Al igual que con la Transformada de Laplace, en este curso se trabajará con un
conjunto básico de Transformadas y una tabla de propiedades.
La Transformada Z también posee una región de convergencia. Como ilustración
se hallará la Transformada Z y su ROC asociada, para una función de tiempo
discreto elemental:

x[n] = a nU [n ]

X ( z) =

∞

∑ a U [n]z
n

−nn =−∞

Es claro que el Límite existe si

 a  n 


1 − Límn→∞   
n
∞
 z  
a


= ∑  =
a
n =0  z 
1−
z

a
< 1 , es decir z >a . En resumen:
z

X ( z) =

1
a
1−
z

=

1
1 − az −1

z>a

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6.2 PARES BASICOS DE TRANSFORMADAS Z

SEÑAL
δ[n]
U[n]
-U[-n-1]
anU[n]
-anU[-n-1]
nanU[n]

TRANSFORMADA
Z
1
1
1 − z −1
11 − z −1
1
1 − az −1
1
1 − az −1
az −1

(1 − az )

ROC
Toda z
z >1
z  a 
z < a 
z > a 

−1 2

n

-na U[-n-1]

az −1

(1 − az )

z < a 

−1 2

Cos(Ω on)U[n]

1 − cos Ω 0 z −1
1 − 2 cos Ω 0 z −1 + z −2

z > 1

Sen(Ω on)U[n]

sen Ω 0 z −1
1 − 2 cos Ω0 z −1 + z −2

z > 1

anCos(Ω on)U[n]

1 − a cos Ω0 z −1
1 − 2a cos Ω0 z −1 + a 2 z−2

z > a

anSen(Ω on)U[n]

a sen Ω0 z −1
1 − 2a cos Ω0 z −1 + a 2 z −2

z > a

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6.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

PROPIEDAD

SEÑAL

Linealidad
ax1[n]+bx2[n]
Desplazamiento
x[n-no]
en el tiempo

Escalamiento
en el tiempo
Escalamiento
en z
Convolución
Sumatoria

x[an]
n
z 0 x[n]

x1[n]*x2[n]
n

∑ x[k ]

k = −∞

Diferenciación
en zTeorema del
valor inicial

n m x[n]

TRANSFORMADA
DE LAPLACE
aX1(z)+bX2(z)

z −n0 X ( z) + z −n0 +1x[−1] +

ROC
R1∩R2
R

...+ z −1x[−n0 +1] + x[−n0 ]
 1
Xza 




z
X 
z 
 0

X1(z)X2(z)
X ( z)
1 − z −1

m
(− z )m d (Xm( z ) )

dz

Cambiar z
Por z1/a
Cambiar z
Por z/z0
R1∩R2
R∩z >1
R

Si x[n]=0 para na

Por la propiedad de escalamientoen el tiempo:

{

}

TZ a −nU [− n] =

1
1 + az

z −1 > a

z<

ó

1
a

Por la propiedad de desplazamiento en el tiempo:

{

}

{

}

TZ a −( n+1)U [− (n + 1)] = a −1TZ a − nU [− (n + 1)] =

z
1 + az

z<

Es decir:

{

}

TZ a −nU [− n − 1] =

az
1 + az

z<

1
a

En resumen:

{ }= 1 + 1
az

TZ a

n

−1

+

az
1 + az

z>a

∩...