CAlculo

TEMAS DE ENTRENAMIENTO
CÁLCULO DIFERENCIAL
2008 – I Término
GEOMETRÍA PLANA
1. Determine las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, si se conoce que la
perpendicular trazada por el punto medio de su hipotenusa interseca a un cateto y a la
prolongación del otro, en dos puntos que están localizados a 4m y 5m del vértice del
ángulo recto respectivamente, tal como se muestra en lafigura:

F

•

AF = 5m

A•

•E

B

H

AE = 4m

C

Se espera que el estudiante:
Aplique semejanza de triángulos.
2. Dado el cuadrado CHGE, B y D son los puntos medios de dos de sus lados y desde el
punto C se traza un cuarto de circunferencia. A fin de encontrar el área de la superficie
sombreada, se propone hallar restarle al área del triángulo BCE, el área del triángulo EFDy el área del cuarto de círculo CBD. Encuentre el error en el procedimiento planteado.

Se espera que el estudiante:
Conozca las propiedades de las rectas tangentes a la circunferencia.
3. Determine el área de la región sombreada, si está formada por tres rombos tal como se
muestra en la figura:

Se espera que el estudiante:
Recuerde las características de los rombos.
Aplique la fórmulaapropiada para área de figuras planas.

1

4. Se tiene una hacienda de forma rectangular (rectángulo ABCD) y se desean cultivar 9
tipos diferentes de hortalizas. El ingeniero agrónomo de la hacienda ha recomendado que
para obtener mejores rendimientos en las cosechas es mejor sembrar cada tipo de
hortaliza en superficies de formas cuadradas. Por ello ha dividido la haciendo en 9
cuadradosde acuerdo a la figura adjunta. Si se sabe que el lado del cuadrado más
pequeño es de 2 metros:
a) Calcule la superficie de la hacienda.
b) Calcule el área de las 3 superficies cuadradas interiores.

A

B

D

C

Se espera que el estudiante:
Interprete un problema real.
Modele matemáticamente el problema.
Analice las variables que intervienen en el problema.
Analice la aplicaciónde los datos dados con las variables del problema y la
incógnita del mismo.
Calcule áreas de superficies rectangulares y cuadradas.

C a una circunferencia se trazan 2 rectas tangentes a ella. Los
segmentos de recta XC y YC tienen una longitud de 10cm. Sobre el arco menor XY se
suur
escoge un punto P al azar y se traza otra recta tangente AB , de tal manera que los
puntos A y B sean lasintersecciones con las rectas tangentes iniciales.

5. Desde un punto exterior

De acuerdo a esta información calcule el perímetro del triángulo

ABC.

Y
A

•
P

X

C

B

Se espera que el estudiante:
Relacione los datos dados con las variables del problema.
Calcule perímetros de triángulos.
Conozca las características de las rectas tangentes desde un punto exterior a lacircunferencia.
Aplique el concepto de congruencia entre segmentos de recta.

2

6. Un barco navega entre dos orillas paralelas, desde el punto
muestra en la figura:

D

F

A al punto D, como se

orilla

C
B

E

orilla

A
EAB =

Se conoce que

2p
,
3

BCD =

2p
,
9

ABC = CDF ,

CBD = CDB .

ABC .

Calcule la medida del ángulo

Se espera que el estudiante:Identifique ángulos alternos internos.
Aplique teorema de suma de ángulos interiores para triángulos
7. La figura muestra un triángulo

ABC en el cual AC =

7 2
, BC = 6 y
2

ABC = 45º

A

B
a) Demuestre que
Si el punto

45º

C

sen ( BAC ) =

6
.
7

D pertenece al segmento AB tal que sen ( BDC ) =

b) Encuentre el valor de BDC
c) Calcule la medida del ángulo

6.
7

+ BAC
BAC

BD .
Area del BDC BD
e) Demuestre que:
=
Area del BAC BA
d) Encuentre la longitud de

Se espera que el estudiante:
Conozca sobre resolución de triángulos.
Aplique la ley del seno.
Conozca sobre áreas de triángulos.

3

8. Hallar el área de la región sombreada de la figura adjunta, si la medida de los lados del
cuadrado es “a”

Se espera que el estudiante:...