calculo

Matemáticas II

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Teoremas del valor medio y regla de L´Hôpital

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO


Teorema de Rolle

Si f (x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y si f (a)  f (b) , entonces existe algún
punto c  (a, b) tal que f ´(c)  0 .
 Interpretación geométrica: existe un punto al menos de ese intervalo, en el que la
tangente a la curva es horizontal.

a

c

ba

c

b

a

c

b

En ese punto c (en alguno de ellos si hay varios) se da el máximo o el mínimo de f (x) en ese
intervalo.
Ejemplos:

La función f ( x)  x 2  x  2 verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo
[2, 1], pues:
 es continua y derivable en todo R; en particular en el intervalo [2, 1].

f (2)  4 y f (1)  4 . Esto es, toma el mismo valor enlos extremos del intervalo.
En consecuencia, existe un punto c  (2, 1) en el que su derivada vale 0: f ´(x)  2 x  1  0
 x  1 / 2 . Este es el valor c que asegura el teorema.


La función f ( x)  1  x no satisface las condiciones del teorema de
Rolle en el intervalo [1, 1], pues no es derivable en el punto x = 0 de
ese intervalo.



Teorema del valor medio (Lagrange)

Si f(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe algún punto c  (a, b) tal
f (b)  f (a)
 f ´(c) .
que
ba
 Interpretación geométrica: existe un punto perteneciente al
intervalo en el que la tangente a f (x) es paralela a la secante
que pasa por los puntos de abscisa a y b.
De otro modo: existe un punto del intervalo en el que la tasa
de variación instantánea coincidecon la tasa de variación
media de todo el intervalo.
 Interpretación física: si se realiza un trayecto a velocidad media v, en algún instante de
ese trayecto se ha llevado esa velocidad v.

José María Martínez Mediano

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Teoremas del valor medio y regla de L´Hôpital

Ejemplo:

La función f ( x)  x 3  6 x es continua y derivable en el intervalo [2, 1]   c, 2< c <
f (1)  f (2)
1 tal que
 f ´(c) .
1  (2)
54
En efecto:
 3x 2  6   3  3x 2  6  x 2  1  x = 1, x = 1.
1  (2)
El valor que cumple el teorema es x = 1, el número que pertenece a (2, 1)


Diversas formas de expresión del teorema

f (b)  f (a)
 f ´(c)  f (b)  f (a)  f ´(c)(b  a)
ba
Si se toma x  (a, b) puede escribirse:
f ( x)  f (a)  f ´(c)( x  a), con c  (a, x)
Si se hace b = a + h, se tendrá:
f (a  h)  f (a)  h· f ´(c) , c  (a, a + h)
Si se toma x = a + h, se tendrá:
f ( x)  f (a)  h· f ´(a  h) , 0 <  < 1, c  (a, x)
De

Ejemplo:

Aplicamos el teorema de los incrementos finitos al cálculo aproximado de 102 .
Si se toma f ( x)  x , para x = 102, a = 100 y h = 2, se tiene:
1
1
, pues f ´(x) 
f (102)  f (100) 2· f ´(100  2)  102  100  2·
2 100  2
2 x
1
1
1
Como f ´(100  2) 


 0,05 , el valor aproximado pedido será:
2 100  2 2 100 20
1
 10 + 2 · 0,05 = 10,1
102  100  2·
2 100  2
NOTAS: 1. El valor obtenido con la calculadora es: 102  10,0995... La aproximación es
muy buena.
2. Puede observarse que aplicando la diferencial (véase) se llega al mismo resultado.
Algunas consecuencias más
A partir de cualquiera de estas expresiones pueden demostrarse fácilmente algunas
propiedades de uso frecuente. Entre ellas:
1. Si una función f (x) es tal que f ´(x)  0 para todo x de un intervalo, entonces
f (x) es constante en el intervalo.
Si f ´(x)  0 , de f ( x)  f (a)  f ´(c)( x  a)  f ( x)  f (a) = cte.
2. Si f (x) y g (x) verifican que f ´(x)  g´(x)para todo x de un intervalo, entonces
f (x) y g (x) se diferencian en una constante. (Pues f  g cumple que f´ g´= 0)
3. Si una función f (x) es tal que f ´(x)  0 para todo x de un intervalo, entonces
f (x) es creciente en el intervalo.
Si f ´(x)  0 , de f (a  h)  f (a)  h· f ´(c)  f (a  h)  f (a)
Análogamente, si f ´(x)  0 para todo x de un intervalo, entonces f (x) es decreciente...