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Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a losintervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

LA INTEGRAL DEFINIDA
Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una funcióncomo la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.
[f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)]  x  
(se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)
 [f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)]  x 
(se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cadasubintervalo)
 [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)]  x  
(se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo)
Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.
Definición 1: Si f es unafunción continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
 [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)]  x o bien
 donde x0 = a, xn = b y  x  .
(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi1, xi] con i = 1, .., n)
Definición 2: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integraldefinida de f de a a b, que se indica es el número:
[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)]  x
 donde x0  a, xn  b y  x  .
(la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [xi1, xi] con i  1, .., n)
Definición 3: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
 [f(t1) + f(t2) +f(t3) + ……………………… + f(tn)]  x
 donde x0  a, xn  b y  x  .
(la función se evalúa en cualquier punto ti de cada subintervalo [xi1, xi] con i  1, .., n)
El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración .
Notación y terminología:

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.
La continuidad aseguraque los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de  es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definición más general.
Definición de integral definida: Sea f una función continua definida paraa  x  b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho  x  . Sean x0  a y xn  b y además x0, x1, ...., xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi1, xi] con i  1, .., n.
Entonces la integral definida de f de a a b es el número .
La integral definida es un númeroque no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin...