Calculo

En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto (en inglés, dot product), es una aplicación externa bilineal definida sobre un espacio vectorial, cuyoresultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o número.
Formalmente, un producto escalar es una aplicación de la forma:

donde para dos vectores cualesquiera del espacio vectorial , seobtendrá un escalar (denotado por , o más corrientemente ), del cuerpo o campo de escalares .
En el caso de espacios vectoriales reales (sobre ) dotados de una base ortonormal (p.e., la base canónica de), el producto escalar de dos vectores y con componentes y puede calcularse sumando los productos de las componentes de los vectores dos a dos:
= = =
* Nótese que el producto escalar de unvector por sí mismo, por componentes, corresponde a:
= = =
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por loque se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una aplicación donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que está definido V.debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda y por la derecha: , y análogamente
2. Hermiticidad: ,
3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,
donde sonvectores de V, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y elser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por o por .
Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacioprehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en...