calculos

MATRIZ TRASPUESTA

Dada la matriz cuadrada



7
2
1
A
=
4
5
8


-1
2
3

a la matriz:


7
4
-1
A T
=
2
5
2


1
8
3

se le denomina la matriztraspuesta de A.

A T se obtiene de A por medio de traslaciones simétricas de sus elementos respecto de la diagonal como se vé en las figuras anteriores. Este proceso se denomina también reflexiónrespecto de la diagonal.

Es de notar que los elementos de la diagonal de A son los mismos que los de la diagonal de A T, o sea que los elementos de la diagonal permanecen fijos. Se puede decir que A T seobtiene de A por medio de una rotación de sus elementos, de 180º respecto de la diagonal que en este caso es el eje de rotación.

Otra manera de obtener A T, a partir de A es transformando lasfilas de A en columnas de A T (o las columnas de A en filas de A T), es decir:

1ª columna de A ------> 1ª fila de A T
2ª columna de A ------> 2ª fila de A T
3ª columna de A ------> 3ª fila deA T

En realidad:

Si A = ( a ij ) mxn y A T = ( b ij ) nxm,

debe darse la relación:

( b ij = a ji ) ( para cada i,j)


La noción de matriz traspuesta seextiende a matrices de cualquier dimensión mxn, con la siguiente definición:

Si A = ( a i j ) mxn , se define A T = ( a (t) ij ) nxm , por la condición:


( a (t) ij = aji ), (para cada i , j)

Por lo tanto:

a11 a12 a13 a14
si A = a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

entonces

a (t) 11 a (t) 12 a (t) 13
A T = a(t) 21 a (t) 22 a (t) 23
a (t) 31 a (t) 32 a (t) 33
a (t) 41 a (t) 42 a (t) 43

en donde

(a (t) ij = a ji ) , ( para cada i , j )

o sea:

a (t) 11= a 11 a (t) 12 = a 21 a (t) 13 = a 31 a (t) 21 = a 12 a (t) 22 = a 22, a (t) 23 = a 32, etc.

Una matriz cuadrada A es una matriz simétrica sí

A = A T

es decir:
( a i j =...