Campo vectorial y escalar

Campo Vectorial y Campo Escalar
En matemática un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo, de la forma.
Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como lafuerza electromagnética o la gravitatoria, pues cambian punto a punto.
En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la Teoría general de la relatividad.
Un campo escalar corresponde a una magnitud físicaque requiere sólo de un número para su caracterización. Esto puede corresponder, por ejemplo, a la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, a las presiones dentro de un fluido, o a un potencial electrostático.
Matemáticamente, un campo escalar es una función , escalar, cuyo valor depende del punto del espacio en que se considere, y que escribimos en la forma

en que es un vector querepresenta la posición del un punto de observación en el espacio, de coordenadas (cartesianas) (x,y,z).
Recordamos la noción de superficie equipotencial, de valor , que corresponde al lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencial,

Integrales de Línea
En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de unacurva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
* el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
* el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva,
* o también para el cálculodel trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
Teorema de Green
El teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así porel científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:
Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

A veces la notación

se utiliza para establecer que la integral delínea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Divergencia y Rotacional
Teorema de Gauss
En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumendelimitado por dicha superficie.
Es un resultado importante en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos.

Sean y dos subconjuntos abiertos en donde es simplemente conexo y el borde de , es una superficie regular o regular a trozos.
Sea , un campo vectorial de clase , es decir, cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.
Entonces:

donde el vector normal a lasuperficie apunta hacia el exterior del volumen .
Teorema de Stokes
El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una...