Centro De Gravedad

1.- CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS:
Centro de gravedad. El centro de gravedad G es un punto que ubica el peso resultante de un sistema de partículas. Para mostrar cómo determinar este punto, considere el sistema de n partículas fijas dentro de una región del espacio como se muestra en la figura :

Los pesos de las partículas comprenden un sistema defuerzas paralelas que puede ser reemplazado por un solo peso resultante (equivalente) que tenga el punto G de aplicación definido.
Esto requiere que el peso resultante sea igual al peso total de todas las n partículas; es decir,

WR = W

La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas con respecto a los ejes x, y, y z es entonces igual al momento del peso de laresultante con respecto a esos ejes. Así, para determinar la coordenada x de G, podemos sumar momentos con respecto al eje y. Esto resulta en

x WR= x1 W1+ x2 W2+…+ xn Wn

De la misma manera, sumando momentos con respecto al eje x, podemos obtener la coordenada y ; es decir

y WR= y1 W1+ y2 W2+…+ yn Wn

Aunque los pesos no producen un momento con respecto al eje z, podemos obtener lacoordenada z de G imaginando al sistema coordenado, con las partículas fijas en él, como si estuviera girado 90° con respecto al eje x (o al y),

sumando momentos con respecto al eje x, tenemos

z WR= z1 W1+ z2 W2+…+ zn Wn

Podemos generalizar estas fórmulas, y escribirlas simbólicamente en la forma

x = xWW y = yWW z =zWW (1.1)

Aquí,


x y z Representan las coordenadas del centro de gravedad G del sistema de partículas.

x y z Representan las coordenadas de cada partícula presente en el sistema.

W Es la suma resultante de los pesos de todas las partículas presentes en el sistema.

Estas ecuaciones son recordadas fácilmente si se tiene en mente que sólo representan unbalance entre la suma de los momentos de los pesos de cada partícula del sistema y el momento del peso resultante para el sistema.

Centro de masa. Para estudiar problemas que implican el movimiento de materia bajo la influencia de una fuerza, esto es, la dinámica, es necesario localizar un punto llamado centro de masa. Si la aceleración debida a la gravedad g para cada partícula es constante,entonces W = mg. Sustituyendo en las ecuaciones y cancelando g en el numerador y el denominador resulta

x = xmm y = ymm z = zmm (1.2)

Por comparación, entonces, la ubicación del centro de gravedad coincide con la del centro de masa: Sin embargo, recuerde que las partículas tienen "peso" únicamente bajo la influencia de unaatracción gravitatoria, mientras que el centro de masa es independiente de la gravedad. Por ejemplo, no tendría sentido definir el centro de gravedad de un sistema de partículas que representasen los planetas de nuestro sistema solar, mientras que el centro de masa de este sistema sí es importante.

2.- CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA, Y CENTROIDE PARA UN CUERPO:

Centro de gravedad. Un cuerporígido está compuesto de un número infinito de partículas, y si los principios usados para determinar las ecuaciones 1-1 son aplicados al sistema de partículas que componen un cuerpo rígido, resulta necesario usar integración en vez de una suma discreta de términos. Considerando la partícula arbitraria ubicada en ( x, y, z ) y con peso dW Las ecuaciones resultantes son

x= xdWdW

y= ydWdWz= zdWdW (1.3)

Para aplicar estas ecuaciones apropiadamente, el peso diferencial dW debe ser expresado en términos de su volumen asociado dV. Si γ representa el peso específico del cuerpo, medido como un peso por volumen unitario, entonces dW = γ dV, y por tanto

x= vxγdVvγdV y= vyγdVvγdV z= vzγdVvγdV...