centroide, círculo de mohr, teorema de steiner

Centroide.
El centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación donde al ubicar la resultante de las fuerzas los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de gravedad se sustituye por el centroide del área, el cual considera las áreas de los elementos en vez de los pesos y las expresiones para determinar las coordenadas centroidales son:Consideremos un cuerpo material:
Para que el centroide del cuerpo coincida con el centro de masa, el cuerpo debe tener densidad uniforme o una distribución de materia que presente ciertas propiedades, tales como la simetría.
Para que un centro de masa del cuerpo coincida con el centro de gravedad, el cuerpo debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.
Una figura cóncava puedetener su centroide en un punto situado fuera de la misma figura. El centroide de una lámina con forma de cuarto de Luna estará en algún punto fuera de la lámina.
El centroide de un triángulo (también llamado baricentro) se encuentra en el punto donde se intersecan sus transversales de gravedad (líneas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto). Este punto es también el centroidede la superficie del triángulo.
Centro de Simetria:
El centro de simetría de una figura geométrica es el centroide.
El centroide de un objeto o figura también puede definirse como un punto fijo del grupo de isometría de dicha figura. Para un objeto, figura limitada o región finita el grupo de isometría no incluye traslaciones y en ese caso si el grupo de isometría no es trivial,sus simetrías pueden determinar el centroide.
Sin embargo si para un objeto tiene alguna simetría traslacional el centroide no está definido, porque una traslación no tiene ningún punto fijo.
Teorema del centroide de Pappus.
Teorema del centroide de Pappus, también conocido como teorema de Guldin, teorema de Pappus Guldin o teorema de Pappus, es el nombre de dos teoremas querelacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolucióncon sus respectivos centroides. Los teoremas se les atribuyen a Pappus de Alejandría y a Paul Guldin.
Primer Teorema:
El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a C sobre el mismo plano, es igual a la longitud de C, s, multiplicada por la distancia, d, recorrida por su centroide en una rotacióncompleta alrededor de dicho eje.
Por ejemplo, el área de la superficie de un toro de radio menor  y radio mayor  es

Entiéndase como radio menor al radio de la superficie circular transversal. El radio mayor es el radio de la circunferencia mayor generatriz.
Segundo Teorema:
El volumen, V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, esigual al producto del área, A, por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje.


Centroide áreas compuestas.
En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras comunes (rectángulo, triangulo, circunferencia etc). Esta forma de análisis es útil y permite determinar el centroide de cualquier superficiesegún:


Momento de Inercia (I).
El centroide es proporcional a la ubicación del área asociada. Por otra parte, tenemos una medida denominada momento de inercia que no depende solamente de la ubicación del área sino de la distancia hasta un eje dado.

El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área que representa la distancia de un área con respecto a un eje dado.Se define como la suma de los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje.


Momentos de Inercia para áreas compuestas.
• Un área compuesta consiste de una serie de partes simples conectadas
• El Momento de inercia del área compuesta = suma algebracia de los momentos de inercia de todas sus partes.
Procedimiento de análisis...