Centros de gravedad y centroides

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8.- CENTROS DE GRAVEDAD Y CENTROIDES

8.1 Centro de gravedad y centro de masa para un sistema de partículas.


8.1.1 Definición del Momento de n-ésimo orden.

El primer momento de área es una magnitud geométrica que se define para un área plana. Normalmente aparece en el contexto del cálculo de vigas en ingeniería estructural. El primer momento de área coincide con el producto del áreatotal multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide del área.
Distancia del centroide al punto

Centroide

Punto

Los N-ésimos momentos de área de un área plana se definen como integrales del siguiente tipo:

Donde la integral se extiende sobre sobre todo el dominio plano del área A y donde la distancia r es la distancia a un eje contenido en el mismo plano quecontiene al área. En particular se definen los dos momentos n-ésimos de área como:
Se define de la siguiente manera el momento de N-ésimo orden para el eje x:

Y para el eje y:



8.1.2 Deducción del modelo general para calcular el centro….


8.1.2.1 geométrico de una figura (centroide)
x

Si se tiene una figura de dos dimensiones en un plano, es posible dividir su área en variasáreas más pequeñas. Cada una de estas áreas tiene sus propias coordenadas.

y
y

A


x

División del Área en N partes
Área A

Para calcular la coordenada x del centroide, se suman las coordenadas x de cada subárea de la figura y se divide entre el número de éstas, como si se obtuviera el promedio de los valores de las coordenadas.

Para calcular la coordenada y se hace lo mismo perocon las coordenadas y de las subáreas.

Se utiliza el elemento diferencial, la relación entre ambos ejes, x y y, para calcular el centroide de la figura mediante el Cálculo Integral.


y

y

A

A

dA

y

x
x

x

Centroide del Área
Elemento diferencial de Área

8.1.2 .2 de masa de una figura

Es el punto donde puede considerarse que está concentrada toda la masa de uncuerpo para estudiar determinados aspectos de su movimiento. El centro de masa de una esfera de densidad uniforme está situado en el centro de la esfera. El centro de masa de una varilla cilíndrica de densidad uniforme está situado a la mitad de su eje. En algunos objetos, el centro de masa puede estar fuera del objeto.

Para tratar de comprender y calcular el movimiento de un objeto, sueleresultar más sencillo fijar la atención en el centro de masa. Por ejemplo, si se arroja una varilla al aire, ésta se mueve de forma compleja. La varilla se mueve por el aire y al mismo tiempo tiende a girar. Si se siguiera el movimiento de un punto situado en el extremo de la varilla, su trayectoria sería muy complicada. Pero si se sigue el movimiento del centro de masa de la varilla, se compruebaque su trayectoria es una parábola que puede describirse matemáticamente con facilidad. El complicado movimiento del extremo de la varilla puede describirse como una combinación de su rotación en torno al centro de masa y del movimiento parabólico de éste. El centro de masa también puede ser un concepto útil cuando se estudia el movimiento de sistemas complicados que están formados por muchosobjetos, por ejemplo, el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

El centro de masa de un objeto es el centroide, o posición media de su masa. Está definido por:

Donde x, y y z son las coordenadas del elemento diferencial de masa dm. Los subíndices m indican que la integración debe llevarse a cabo sobre toda la masa del objeto.

8.1.2 .3 de gravedad de una figura

El centro de gravedadel punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.

En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es...
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