Chang

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justi caciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores,calculadoras, lapices, etc. ´ ´ ´ El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados. Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso detelefonos celulares durante el examen.

1. Evalue el l´mite, si existe. ´ ı a) (24, p.107) b) (17, p.167) x2 + 2x + 1 l´ ım . x→−1 x4 − 1 √ l´ ım x2 + 4x + 1 − x .

x→∞

2. a) (34, p.168) Aplique elteorema del valor intermedio para demostrar que exis2 ´ te una ra´z de la ecuacion e−x = x, en el intervalo (0, 1). ı b) (57, p.142) Determine l´ f (x) si, para toda x > 1, ım
x→∞

√ 5 x 10ex − 21 .
´ ´ 4. (53, p.165) Dada la funcion f (x) = x|x|, use la de nicion de derivada para ′ ´ ´ encontrar una formula para f y determine para que valores de x la funcion f esdiferenciable.

Soluci´n del segundo examen Segundo semestre 2010. o
1. a) x2 + 2x + 1 x→−1 x4 − 1 l´ ım = = = (x + 1)2 x→−1 (x − 1)(x + 1)(x2 + 1) l´ ım
x→−1

l´ ım

(x + 1) (x − 1)(x2 + 1)((−1) + 1) 0 = = 0 ((−1) − 1)((−1)2 + 1) −4 √ √ x2 + 4x + 1 + x l´ ( x2 + 4x + 1 − x) √ ım x→∞ x2 + 4x + 1 + x (x2 + 4x + 1) − x2 4x + 1 l´ √ ım = l´ √ ım 2 + 4x + 1 + x 2 + 4x + 1 + x x→∞ x→∞ x xb)

x→∞

√ l´ ( x2 + 4x + 1 − x) = ım =

4x + 1 1 4+ x x = l´ √ ım = l´ ım 2 x→∞ x→∞ x2 + 4x + 1 + x x 4x 1 x + 2 + 2+ x x2 x x x 1 l´ ım 4 + x→∞ 4+0 4 x = = √ = = 2 2 1+0+0+1 1 4 l´ ım 1+ + 2+1 x→∞ x x 2. ´ ´ a) Considere la funcion f (x) = e−x − x, la cual es continua para todo x ∈ R. Observese que f (0) = e0 − 0 = 1 > 0 y f (1) = e−1 − 1 ≈ −0,63212 < 0.
2

´ ´ Es decir, que la...

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