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Número racional

En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a ydenominador distinto de cero b. El término racional alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de losnúmeros racionales se denota por Q (o bien , en Blackboard bold) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales ().
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistemadecimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.
En sentido estricto,número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre .
Contenido  [ocultar]  * 1 Construcción formal *2 Aritmética de los números racionales * 2.1 Definición de suma y multiplicación en Q * 2.2 Relaciones de equivalencia y orden en Q * 2.3 Existencia de neutros e inversos * 2.4 Equivalencias notables en Q * 2.5 Propiedades * 3 Escritura decimal * 3.1 Representación racional de los números decimales * 3.2 Desarrollo decimal de los números racionales * 3.3 Númeroracional en otras bases * 4 Propiedades topológicas de los números racionales * 4.1 Número p-ádico * 5 Véase también * 6 Referencias * 7 Bibliografía |
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[editar]Construcción formal
Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes
Se puede ver un número racional como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con lasiguiente relación de equivalencia:
[mostrar]Demostración |
El conjunto de los números racionales .
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[editar]Aritmética de los números racionales

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.
[editar]Definición de suma y multiplicación en Q
* Se define la suma 
* Se define la multiplicación 
[editar]Relaciones deequivalencia y orden en Q
* Se define la equivalencia  cuando 
* Los racionales positivos son todos los  tales que 
* Los racionales negativos son todos los  tales que 
* Se define el orden  cuando 
[editar]Existencia de neutros e inversos
* Para cualquier número racional:  se cumple que  entonces  es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.
* Para cualquiernúmero racional:  se cumple que  entonces  es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.
* Cada número racional:  tiene un inverso aditivo  tal que 
* Cada número racional:  con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo  tal que 
[editar]Equivalencias notables en Q
* Todo número entero  se puede escribir como fracción 
*  con  y 
*
*
* con  y 
*  con  y .
[editar]Propiedades
* El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros .
* Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
* La clausura algebraica de , es el conjunto de los números algebraicos.
* El conjunto de los números racionales...
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