Ciencias I, documento firmado

Ejercicios Integrales Impropias
C´lculo 2
a
2013

1. En estad´
ıstica, una funci´n se denomina funci´n de densidad de probabilidad si f (x) ≥ 0 y
o
o

 ke−2x si x ≥ 0
∞
.
f (x) = 1suponga que: f (x) =
 0
−∞
si x < 0
Determine k, para que la funci´n f sea una funci´n de densidad de probabilidad.
o
o

2. Dada la funci´n de densidad de probabilidad
o

 3e−3x
f (x) =
0

para x ≥ 0
en otro caso

Determine:
∞

a) El promedio definido por µ =

xf (x)dx.
−∞

b) La desviaci´n est´ndar definida por:
o
a


1

∞

2

2

(x − µ) f (x)dx

σ=−∞

3. Una de las funciones m´s utilizadas en estad´
a
ıstica es la que corresponde a la distribuci´n uniforme
o
en un intervalo [a, b], que est´ dada por la funci´n:
a
o
1
b−a
f (x) =

0


si x ∈ (a, b]
si x ∈ (a, b]
/

a) Demuestre que la funci´n de distribuci´n uniforme es una funci´n de densidad de probabilidad.
o
o
o

1

b) Si se define el valor esperado como: E(x)=

∞
−∞ xf (x)dx

Calcule el valor esperado de la distribuci´n uniforme.
o

c) Demuestre que V (x) =

∞
2
−∞ x f (x)dx

− (E(x))2 =

(a − b)2
12

4. Determine si la siguientefunci´n es una funci´n de densidad de probabilidad:
o
o
200
(x + 100)3

si x > 0




f (x) =





0

si x ≤ 0

5. Si f es la funci´n de densidad de probabilidad para la vida util deun computador, donde x se mide
o
´
en horas. Explique el significado de las siguientes integrales:
60480

a)

+∞

f (x)dx

b)

43200

f (x)dx
17280

6. La etiqueta de un tipo deampolleta indica que ´sta tiene una vida promedio de 1000 horas. Es
e
razonable modelar la probabilidad de falla de este tipo de ampolleta con una funci´n de densidad
o
exponencial cuya media µ =1000. use este modelo para hallar la probabilidad de que una ampolleta,
a) Falle durante las primeras 200 horas.
b) Se funda despu´s de mas de 800 horas.
e

7. El gerente de un restaurante de...